摘要：统计过程控制图（Statistical Process Control Chart）是一种用于监控生产过程稳定性的统计工具。通过绘制数据点在时间序列上的分布，帮助识别过程中的异常变化。统计控制图可实时监控生产过程是否处于统计控制状态，及时发现过程中的异常波动和
统计过程控制图（Statistical Process Control Chart）是一种用于监控生产过程稳定性的统计工具。通过绘制数据点在时间序列上的分布，帮助识别过程中的异常变化。统计控制图可实时监控生产过程是否处于统计控制状态，及时发现过程中的异常波动和趋势，为持续改进提供数据支持，以及可在问题发生前进行预警。SPSSAU中共支持9类统计控制图，分别是：Xbar-S/Xbar-R/Xbar/I-MR/I, P/NP/C/U图。涉及到连续（定量）和离散（定类）两种数据类型，如果是连续数据时区分是否包括子组两种数据格式，如果有子组数据则应该使用Xbar-S/Xbar-R/Xbar，如果没有子组数据则应该使用I-MR/I图，如果是离散（定类）数据，应该使用P/NP/C/U图。具体选择使用可参考下图：
如果是监控连续性数据，那么应该选择Xbar-S/Xbar-R/Xbar/I-MR/I，继续区分数据格式，如果是子组数据那么应该选择Xbar-S/Xbar-R/Xbar，反之如果是单值数据则选择I-MR/I图。进一步似子组大小和监控目的而定，如果子组较少关注均值变异性，那么使用Xbar-R图，如果子组较大监控变异图可使用Xbar-S图，如果仅仅监控均值，那么使用Xbar图即可。单值数据并且关注数据波动时可使用I-MR图。
当数据是离散性，似监控对象而定，当关注不合格品时使用NP/P图，如果关注缺陷数则使用C/U图。进一步判断单位信息情况，比如基数大小固定时使用NP图（关注不合格品数），反之使用P图（关注不合格品率）。基数大小固定时可使用C图（关注单位内缺陷数），反之使用U图（关注缺陷率）。
质量控制图案例
1、理论
SPSSAU提供九类质量控制图，该九类的汇总说明，如下表所示：
如果是连续数据，并且子组数据格式，则应该选择使用Xbar-S/Xbar-R/Xbar图，并且结合子组大小和监控目的进一步进行选择。如果是连续数据并且是单值数据则应该使用I-MR或I图。当是离散数据时，可使用P/NP/C/U图，进一步判断，如果是单位基数固定和不固定两种情况，一种是监控‘数’，一个是监控‘率’，比如NP和C图分别关注不合格品数和单位缺陷个数，而P图和U图分别 关注不合格率和单位缺陷比率。
以及关于9种控制图的数学计算公式，分别如下述：
1) X̄-S图（均值-标准差图）
如果每次取的样本比较多（通常10个以上）时，用标准差比极差更准确。因为极差只看最大最小值，其忽略掉中间数据的变化，而标准差考虑了所有数据点。均值就是平均数，假设每次取5个零件测量长度，得到5个数据，把这5个数加起来除以5就是均值。
计算公式上：对于每组数据，先算出某组的平均值（均值），然后把所有组的均值再平均一次，得到总均值即控制图的中心线。同样，把所有子组的标准差平均一次，得到平均标准差。控制限就像是"警戒线"，超出这条线就要注意了。以及下述中会提及A2、A3、B3、B4、D3、D4等这些SPC系数来计算控制限，这类系数是统计学家根据大量数据总结出来的标准值，不同的样本数量对应不同的系数。均值数和标准差图的控制限计算分别如下述：
2) X̄-R图（均值-极差图）
X̄-R是最常见的控制图，适合每次取2-10个产品进行测量的情况。比如每小时从生产线上取5个零件测量尺寸，或者每批次取4个产品检测重量。
极差是最大值减最小值，假设每次取5个零件测量长度，得到5个数据，该5个数据的最大值的减去最小值的就是极差。
计算公式上：对于每组数据，先算出某组的平均值（均值），再算出最大值与最小值的差（极差）。然后把所有组的均值再平均一次，得到总均值即控制图的中心线。同样，把所有组的极差平均一次，得到平均极差。以及其控制限的计算说明分别如下述：
3) X̄图（仅均值图）
如果只关心平均水平，不太在意波动大小时使用。或者当过程的变异性已经很稳定，不需要再监控时，此时可只使用均值图。
计算公式上：计算各组数据的平均值，然后画成图表。控制限的计算需要借助极差或标准差的信息，或者使用已知的过程标准差。以及控制线计算如下述：
4) I-MR图（单值-移动极差图）
如果每次只能得到一个测量值的情况，比如每天测一次温度、每批测一次pH值等。由于没有多个数据来计算极差，所以用"移动极差"的概念。移动极差就是相邻两个数据之间的差值。比如今天测得25度，昨天是23度，移动极差就是|25-23|=2度。
计算公式上：
5) I图（仅单值图）
I图仅监控单个测量值，其计算较为简单，如下述：
6) P图（不合格品率图）
如果关心不合格品占总数的比例时使用，比如客户投诉率、产品缺陷率等。样本大小可以变化，比如这批检查了100个，下批检查了120个。
计算公式上如下述：
如果每次检查的数量都相同，关心不合格品的绝对数量时使用。比如每天都检查100个产品，看有多少个不合格。
计算公式如下：
计算公式上如相：
9) U图（单位缺陷数图）
计算公式如下：
10) 关于SPC控制系数表
针对SPC控制系数列，如果n小于25时，SPSSAU使用上表格，如果n>25时，SPSSAU会自动进行额外计算，其计算公式如下：
当样本量n>25时，d2系数通过伽马函数积分法计算，即：d2(n) = √2 × Γ((n+1)/2) / Γ(n/2)，d2系数用来将极差转换为标准差的估计值。当样本量超过25时，查表法不够精确，需要用数学积分公式来精确计算。这个公式基于统计学理论，通过伽马函数（Gamma函数）来描述极差分布的数学特性。
当样本量n>25时，d3系数通过近似公式计算：d3(n) = 0.886 / √n，d3系数用来计算极差本身的标准差。当样本量很大时，这个系数会随着样本量增加而减小，遵循"样本量越大，估计越稳定"的统计学原理。0.886是一个经过大量统计验证的常数，就像物理学中的重力加速度9.8一样，是通过理论推导和实验验证得出的固定值。
当样本量n>25时，c4系数通过伽马函数计算：c4(n) = √(2/(n-1)) × Γ(n/2) / Γ((n-1)/2)，c4系数用来修正标准差的偏差，让标准差的估计更准确。在统计学中，直接计算的标准差往往会偏小，需要用c4系数来"校正"这个偏差。该公式确保了无论样本量多大，计算出的标准差都是无偏的（即长期平均下来等于真实值）。
当样本量n>25时，A3系数通过组合公式计算：A3(n) = 3 / (c4(n) × √n)，A3系数专门用于X̄-S图（均值-标准差图）的控制限计算。它结合了c4系数的修正作用和样本量的影响。数字"3"代表3倍标准差的统计控制原理（99.7%的数据应该在3倍标准差范围内）。这个公式确保了控制限的计算既考虑了标准差的偏差修正，又考虑样本量对控制限宽度的影响。
单位缺陷数 = 缺陷总数/检查单位大小
中心线=加权平均单位缺陷数
控制限=平均单位缺陷数 ± 3×√(平均单位缺陷数/检查单位大小)
中心线=平均缺陷数
控制限=平均缺陷数 ± 3×√平均缺陷数
中心线=平均不合格品数
控制限=平均不合格品数 ± 3×√[平均不合格品数×(1-不合格品率)]
不合格品率 = 不合格品数/检查总数
中心线=总体不合格品率
控制限=总体不合格品率 ± 3×√[总体不合格品率×(1-总体不合格品率)/样本量]
中心线=平均值
控制限：平均值 ± 3×标准差
I图：中心线=总均值，控制限=总均值 ± 3×标准差
MR图：中心线=平均移动极差，上限=3.267×平均移动极差，下限=0
中心线=总均值（所有子组均值的平均）
控制限：总均值 ± 3×(总体标准差/√平均样本数)
X̄图：中心线=总均值，控制限=总均值 ± 3×(平均极差/平均d2系数/√平均样本数)
R图：中心线=平均极差，控制限=平均极差 ± 3×(平均d3系数/平均d2系数×平均极差)
X̄图：中心线=总均值，控制限=总均值 ± 3×(平均标准差/平均c4系数/√平均样本数)
S图：中心线=平均标准差，控制限=平均标准差 ± 3×(平均标准差/平均c4系数×√(1-平均c4系数2))
2、操作
SPSSAU中进行质量控制图时，需要选择数据类型，数据格式（子组数据还是单个测量值），以及如果是子组数据时，需要确认具体子组的表示方式（单列还是多列）。
提示：
如果是单列数据格式需要设置‘子组大小’参数，比如有100个样本点，子组大小为5，那子组个数=100/5=20，设置子组大小后SPSSAU自动计算子组个数。如果是多列数据格式，格式上为‘一行表示一个子组’。
另：SPSSAU默认提供Demo数据，取消‘Demo数据’复选框后则清空默认数据，研究者粘贴实际数据到编辑框后，点击‘开始分析’即可。
3、SPSSAU输出结果
默认情况下，SPSSAU提供控制图，以及分析建议。与此同时，SPSSAU提供控制图时，其列出四项异常值监控方式，分别是距离中心线距离多少标准差（单点超出控制限），连续多少点在中心线同一侧（连续点偏向一侧），连续多少点在递增或递减（连续上升或下降趋势），连续多少点上下交错等共4种异常值检测，并且会在控制图中自动进行切换标识。
规则一：单点超出控制限，默认以超出3σ控制限（UCL或LCL）作为标准，正常过程中，数据点落在3σ外的概率仅为0.27%，研究者可自行进行切换修改该标准。此类点超出控制限时，一般意味着过程发生重大偏移。
规则2：连续点偏向一侧，默认以连续9个点落在中心线同一侧，一般情况下连续9点在同侧的概率为(1/2)^9 ≈ 0.2%。此类情况时，一般意味着过程均值发生系统性偏移。
规则3：连续上升或下降趋势，默认以连续6个点呈单调递增或递减作为标准。一般情况下6个点严格单调的概率为2/6! ≈ 0.28%。出现此类异常时，可能意味着过程存在渐进性趋势变化（如设备磨损）。
规则4：上下交错，默认以连续14个点在中心线上下交替出现作为标准。
4、剖析
涉及以下几个关键点，分别如下：
子组数据的数据格式？
如果是单列数据格式需要设置‘子组大小’参数，比如有100个样本点，子组大小为5，那子组个数=100/5=20，设置子组大小后SPSSAU自动计算子组个数。如果是多列数据格式，格式上为‘一行表示一个子组’。
清空Demo数据？
SPSSAU中进行控制图时，默认提供Demo数据，取消‘Demo数据’复选框后则清空默认数据，研究者粘贴实际数据到编辑框后，点击‘开始分析’即可。
控制图异常值判断判断？
SPSSAU当前对控制图异常点判断上，默认提供四项异常值监控方式，分别是距离中心线距离多少标准差（单点超出控制限），连续多少点在中心线同一侧（连续点偏向一侧），连续多少点在递增或递减（连续上升或下降趋势），连续多少点上下交错。
SPC控制系数是什么意思？
计算公式中会出现，比如d2、d3、c4和A3表等，其都是统计学家通过复杂的数学推导得出的标准系数。这些系数确保了控制图的准确性。当n时，SPSSAU会自动计算，具体见本文档理论说明。
来源：三胖读书
