摘要：这道题的高中常规解法，计算量不小！但阅卷时，老师发现有位同学竟然口算就得出答案！

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这道题的高中常规解法，计算量不小！但阅卷时，老师发现有位同学竟然口算就得出答案！

更“绝”的是，这位同学的解法非常简单，连老师都没想到、不禁连连夸赞“这孩子太棒了！”

这是一道高中数学中的解析几何题：仅已知三个顶点的坐标，咋求三角形的面积？

如图，

图一

三角形ABC的顶点坐标分别为A(-3,-2)、B(1,6)、C(2,-5)，求其面积。

老师出这道题的本意是，考查知识点“正弦定理”和“余弦定理”！

解析一：面积差+补齐长方形！适最简单的方法、适合初中生

补齐长方形CEDF，如图二

图二

其长为11、宽为5，故S△ABC=S长方形CEDF-S△ACE-S△ABD-S△BCF=55-7.5-16-5.5=26。

解析二：余弦定理+正弦定理！高中生常规解法

①AB=4√5，AC=√34，BC=√122。

②由余弦定理可得cos∠BAC=(AB²+AC²-BC²)/(2AB×AC)

故sin∠BAC=13√170/170。

③由正弦定理可得S△ABC=1/2AB×AC×sin∠BAC=1/2×4√170×13√170/170=26。

解析三：向量外积（矢量积）！可口算答案，适合优秀的高中生或大学生

①向量AB = 向量OB - 向量OA = (4,8)，

向量AC = 向量OC - 向量OA = (5,-3)。

②向量AB与向量AC的外积即向量AB×向量AC（仍为向量），其大小等于向量(4,8)与向量（5 ,-3）所组成的矩阵所对应的行列式(如图三）

图三

4×(-3)-5×8=-52，方向垂直坐标平面xoy即三维笛卡尔坐标系中z轴反方向(因为4×(-3)-5×8=-52)。

③向量AB与向量AC的外积的几何意义：两向量的外积的模等于以这两个向量为边所围平行四边形的面积，故2S△ABC=丨-52丨=52，从而S△ABC=26。

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来源：琼等闲