数学是怎么进步的？数学这门学问的深邃之处在哪？

摘要：2012年的一天，日本数学家望月新一（Shinichi Mochizuki）将4篇论文挂到了他的网站上。这些论文的总篇幅超过了600页，望月新一在论文中宣称，他解决了ABC猜想——当今数学界最大的难题之一。然而，论文公开后，在很长一段时间内，能读懂这篇论文的数

2012年的一天，日本数学家望月新一（Shinichi Mochizuki）将4篇论文挂到了他的网站上。这些论文的总篇幅超过了600页，望月新一在论文中宣称，他解决了ABC猜想——当今数学界最大的难题之一。然而，论文公开后，在很长一段时间内，能读懂这篇论文的数学家寥寥无几。望月新一的证明，也成了数学界的一桩悬案。

2017年，《用数学的语言看宇宙：望月新一的IUT理论》的作者、望月新一的深交挚友、日本数学家加藤文元的一场演讲引发了热议，也带来了这本书的出版。

这本书虽然是解读望月新一“跨视宇Teichmüller理论（IUT理论）”的通俗读本，但阅读难度不高，通过展现望月新一的数学研究历程，主要传递的还是数学家在做什么？数学家是如何思考的？数学的底层逻辑与深度思考方法等问题。适合众多对数学感兴趣，以及希望学习数学思维的人。

《用数学的语言看宇宙：望月新一的IUT理论》

作者 | [日]加藤文元

译者 | 周健

01 为什么在数学里可以不断

做出新的事情？

在数学工作者的世界里，怎样才能使自己的理论和想法在世界范围内被大家所知道，被大家所理解，被大家所认可？数学工作者的世界到底是个怎样的世界？

对于这样一些十分基本的情况，我们好像说得还不够清楚，所以在这里，让我们来转换一下心情，先来谈一谈数学中的一个新理论从它出现到被数学工作者圈子所接受一般要经历一个怎样的过程。

那么，在数学的世界里，所谓“做出新的事情”到底是指什么样的事情呢？对于任何一个数学工作者来说，这样一个问题大概都会被问到过一次，抱有这个疑问的人应该是很多的。我自己在和普通人谈论数学方面的话题时，常常也会被问到这种类型的问题。我们将在后面的章节中看到关于“学校里教的数学”和“研究中的数学”这两者之间的区别。爱德华·弗伦克尔通过拼图板的比喻对此做了很巧妙的说明，对于在数学中“做出新的事情”到底是怎么一件事这个问题，从这个比喻性说明来看的话，也能大概得到某种感觉。

但是，在此之前，我们还必须先来回答一个更为根本性的问题，那就是“为什么在数学上做出新的事情是可能的？”。实际上，许多人在向数学工作者提出前面那类问题的时候，他们心里的真实感觉其实是，“在今天这个时代，在数学里还能做出什么新的东西吗？”

很多人在初中和高中阶段就已经被数学折磨得够呛，而到了大学阶段，对于某些人来说，数学简直就是个让人痛不欲生的学科。不过另一方面，有些人却十分喜爱数学，并且能够在数学的学习中体会到很多乐趣，这样的人也不在少数。

不管是哪种情况，对于大多数人来说，数学给人的感觉通常就是“已经完全成熟了”。就拿三角函数、向量、微积分等来说吧，古代的人知不知道这些东西，我们暂且不去深究，但对于我们这些现代人来说，它们是为了阐明自然和宇宙的真理而发现或发明的。

也就是说，它们被刻在自然和宇宙的真理中，它们就像自然和宇宙本身一样已经建成了，正因如此，才有了它们就是无可非议、无可挑剔、完美无暇的知识的感觉。甚至那些不喜欢数学的人也会有这样的感觉。

要说数学其实还很不完善，是一门具有很大发展空间的学问，恐怕很多人绝对不会这么想。

但数学确实不是一门“已经完成了的学问”。当然，数学是一门已经存在了几千年的古老学问，因而可以说，它作为一门学问的成熟度是非常高的。

比如说，在古代巴比伦的黏土板上，我们就发现了一套非常先进和精确的数学知识，那些可都是距今约4000年前的东西了，看到这些材料，不仅是普通人，就连作为数学工作者的我们都会非常吃惊。从数学的漫长历史来看，可以明确的是，这些知识并不是直线式地连续发展起来的，其中有许多部分都曾经一度衰落或者被遗忘，然后被重新发现，它们走过了一条曲折而复杂的道路。

不过总的来说，数学在人类各种各样的文明发展史当中，仍然可以算是一门不断更新、不断进步的学问。从这个意义上来说，毋庸置疑，数学就是一门历史悠久、深邃、成熟的学问。

然而，即便是这样，数学也一直不是完美的。就拿现代数学来说，尽管已经发展到了如此的高度，内容极其精深，我们也绝对不能说，它达到了尽善尽美的程度。实际上，它一直是对新的发展保持开放的。

数学永远不会有所谓的“完成”或“结束”的时刻，它始终以不完美的状态而存在着。而且（这么说可能有点儿让人惊讶）它也是一门可以通过人类的努力而获得进步的学问。应该说，这反而是数学这门学问的深邃之处。

02 所谓的数学进步

到底是怎么一回事？

数学和其他众多学科一样，也是一点一滴从基础开始慢慢积累，逐渐形成一个学术体系的。所以说，在数学上，所谓的学术进步与发展，也是在其过往的积累之上，进一步构筑新事物的一项事业。就像牛顿曾经说过的那样，如果说“我”看得比别人更远些，那是因为“我”站在巨人的肩膀上。

话又说回来，在过去积累的基础上再增添新的东西，在理解这样的表达方式的时候，有些地方是需要特别注意的。把现代数学想象成摩天大楼那样一层一层构筑起来的样子，这个想法肯定是不对的。因为“积累”这个词在这里其实包含着非常多的含义。举例来说，在数学中有初等几何学这么一个分支。这是一门使用直线、三角形、圆之类的工具来研究几何图形的各种性质的数学分支。读者中，应该有很多人在初中或高中时就学过与这类图形有关的数学知识。此分支也是我们学习“证明”这个数学中的特有技术的良好素材，但反过来，“证明”这个东西又像是一个魔鬼，给许多人留下了关于数学的不太好的回忆。

初等几何学也经常被称为“欧几里得几何学”，它是从古希腊就已经开始研究的几何学。从这个意义上来说，它是一个非常古老的数学分支。这样说的话，欧几里得几何学应该一直延续到了现代数学之中，并在数学的逐层积累的过程中处于非常基础的位置，而数学的发展就应该是在它之上一层一层地积累新的发现和新的想法，最终发展到了今天这样的程度，估计有些人会这么想。当然，这个说法总体上来说是没有问题的，因为像欧几里得几何学这样基础性的几何学，毫无疑问就是后来出现的各种各样的数学理论的基础。

但是从另一方面来说，欧几里得几何学这门学问本身已经是一个“结束了”的东西，今天已经很少有人再对它进行专门的研究了。需要注意的是，我们这里所说的“结束了”并不意味着，它在历史上的某个时刻已经被人研究完，因而不再有什么需要进一步研究的东西了。这里的意思简单来说就是，基于某种合理的原因，人们觉得在这个领域已经不再需要追求进步了，目标已经在相当程度上达成了，主要结果也都出来了，再往前走的话也就是清扫一下边边角角之类的事情。与其说这是数学上的问题，倒不如说是人类兴趣方面的问题。因此，在这里，我们也绝对不能说，欧几里得几何学已经在古代的某个时期结束了。

实际上，在欧几里得几何学中也有许多事实是古代人并不知道，直到很久以后才被人发现的，这在历史长河中已经发生过很多次了。比较著名的事例有，18世纪末，年轻的高斯就发现了正17边形是可以用直尺和圆规作出的（见方框中的小短文“尺规作图问题介绍”）。

然而，这些研究并不是在与古代几何研究相同的背景条件下进行的。也就是说，我们并不能说，从古希腊到18世纪末这段很长的时间里，欧几里得几何学一直在同一个范式中不断发展，并且正是在这种连续的积累下，高斯又加进了他的新发现。实际上，作为一个活跃的研究主题，初等几何学在古代就已经“结束了”。也因为这样，如果你仅仅从初等几何学或者初中和高中学过的其他一些已经结束了的数学分支的角度来观察数学，进而对整个数学形成自己的想法的话，那就很难了解到数学其实是一直处在进步之中的，而这种想法也不无道理。

那么，“新”的数学会以什么形式产生呢？数学是怎样“进步”的呢？就像Thomas Kuhn所说的，其产生一般会有两种形式，一种是在“科学的常规发展”中通过连续地积累而产生新事物，另一种则是通过“范式转型”而产生新事物。

举例来说，笛卡儿是以引入了坐标系并创立解析几何学而闻名于世的，这种新事物就产生于上述第2种情况。也就是说，它是与范式转型相对应的一种进步。通过笛卡儿所开创的这个新的数学范式，确实也能够在古典的欧几里得几何学中得到很多新的结果，但这已经不能算是古代数学所开创的欧几里得几何学了。

更进一步地说，笛卡儿的理论并不是在前代数学家们坚持不懈地建造起来的欧几里得几何学这个建筑物之上又继续建造出来的东西，而是已经超越了欧几里得几何学，或者如果把话说得再激进一点儿，这是通过把欧几里得几何学这种过往的常识彻底打破以后而取得的进步。同样的说法也适用于19世纪中期相继出现的“非欧几里得几何学”的发现。这个发现具有非常巨大的“破坏力”，因为它完全摧毁了传统“几何学”的范式。