摘要：BD=3，AD=AB-BD=2，DF=3/4AD=3/2，AF=5/4AD=5/2，FC=AC-AF=3/2 ∴DF=FC

（1）DF=FC，本题很简单，但方法很多

解法一：直接计算DF与FC的长，通过计算证边相等

BD=3，AD=AB-BD=2，DF=3/4AD=3/2，AF=5/4AD=5/2，FC=AC-AF=3/2 ∴DF=FC

解法二：证全等，这种方法应该是最容易想到，使用最多的方法

Rt△BDF≌Rt△BCF(HL)⇒DF=CF

解法三：证等腰，也是证边相等的常用方法

BD=BC⇒∠1=∠2⇒∠3=∠4⇒DF=CF

（2）正确. 题型和（1）一样，依然是证边相等，但（1）图形是固定的，（2）则是动点，不固定，所以不太容易通过计算求得EN和AN的长，也就是说，相比（1），解法一行不通，可尝试解法二和解法三的思路，即通过全等或等腰（含三线合一）来证边相等.

思路一：构造全等证边相等

解法一：借助（1）的结论来构造8字全等

过点E作EG//AC，交射线CD于点G

易证△GEN≌△CAN(AAS或ASA)⇒EN=AN⇒N是AE中点

解法二：不借助（1）的结论构造8字全等

解法三：另一种全等构造方法

过点A作AG//DE，交射线CD于点G

易证△AGN≌△EDN(AAS或ASA)⇒AN=EN⇒N是AE中点

解法四：间接全等

在CD上取点G，使AG=AN，连接AG

易证△DEN≌△CAG(AAS或ASA)⇒EN=AG，又AG=AN⇒EN=AN⇒N是AE中点

解法五：二次全等

△DEG≌△CAH⇒EG=AH⇒△ENG≌△ANH⇒EN=AN⇒N是AE中点

解法六：证等腰三线合一

由旋转，知 ∠CBD=∠ABE，BC=BD，BA=BE⇒∠BCD=∠BAE（顶角相等的等腰三角形底角相等，可证相似也可用顶角表示底角）⇒A、C、B、N四点共圆⇒∠ANB=180°-∠ACB=90°，又∵BA=BE⇒EN=AN⇒N是AE中点

（3）最后一问其实做起来并不难，关键就在于如何正确地把图形画出来

共两种情况：

①当点E在AC上方时

过点B作BG⊥AE于点G，交DE于点H

∵∠BGE=∠DAE=90° ∴BG//AD

∴EH/DH=EG/AG=1 ∴EG=DH=2

由勾股定理，得 BH=√13

设GH=x，由勾股定理，得

EG^2=2^2-x^2=5^2-(x+√13)^2

解得 x=4√13/13，GH=4√13/13

∴AD=2GH=8√13/13

②当点E在AC下方时

过点B作BG⊥AE于点G，交AD于点H

∵∠BGE=∠AED=∠BDE=90° ∴四边形BDEG为矩形

∴BG=DE=4 ∴AG=√(5^2-4^2)=3

∵BA=BE，BG⊥AE ∴AE=2AG=6

∴AD=√(6^2+4^2)=2√13

综上，AD的长为8√13/13或2√13.

旋转时，可借助纸片或三角板来旋转定位

1、证边相等，常用全等或等腰（含三线合一），如果含特殊角，也可考虑求出线段长后证相等.

2、全等和等腰具有等线段转化和等角转化功能，尤其间接证时常用到.

3、三角形旋转可借助三角板或草稿纸，也可提前准备一些特殊三角形的硬纸板，如345型三角形.

来源：若叶小学堂