摘要：也知道圆锥体积等于等底等高的圆柱体积的三分之一。令人好奇的是，⅓这个数字从何而来？

从圆锥体积公式谈起。圆锥体积之谜(三分之一从何而来)

好奇心能在正规教育中幸存下来，简直是一种奇迹。

——阿尔伯特·爱因斯坦

小学生知道圆锥体积公式：

V=⅓πr²h

也知道圆锥体积等于等底等高的圆柱体积的三分之一。令人好奇的是，⅓这个数字从何而来？

小学数学老师的回答是做实验，让同学们倒米或者倒水，证明圆锥体积等于对应圆柱体积的⅓。

但是这个回答，有的同学不满意，心中埋下了怀疑的种子。时光荏苒，岁月如梭。小学生成长为中学生，现在我们用中学数学知识来研究这个问题，解答当年的小学生的疑惑。

祖暅定理(卡瓦列里原理)

夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等。

我国南北朝时期的数学家祖冲之的儿子祖暅在推导球体体积公式的过程中提出了上面的祖暅定理，也叫等幂等积定理。

这个定理在西方被称为卡瓦列里原理。祖暅生活在公元5世纪至6世纪，比卡瓦列里(16世纪～17世纪)早一千多年。

圆锥比较复杂，我们从金字塔开始更简单。金字塔就是正四棱锥，如下图所示。

我们考虑一个正方体的体积。正方体的棱长为1，体积等于1。它的内切正四棱锥的体积是多少呢？请看下图。

如图所示，一个正方体可以分为三个形状相同的全等的四棱锥。也就是说，锥体体积等于对应柱体体积的三分之一。

现在我们考虑圆锥的体积。设圆锥和四棱锥的底面积相等，而且高相等，那么根据祖暅定理，它们的体积也相等。

有的同学有疑惑，一个正方形面积能够等于一个圆的面积吗？答案是肯定的。化圆为方不可能是指在尺规作图的限制条件下不可能，去掉这个限制就能够办到。

举个例子，单位圆的面积等于π，边长为√π的正方形面积为π，只不过π和√π都是超越数，不能由尺规作图作出。

综上所述，我们得到结论，圆锥体积等于对应圆柱体积的三分之一。

《简单微积分》的作者(日本)神永正博的解答如下：

以上图片来自《简单微积分》。

图片来自《漫话数学》。

我们用古希腊数学家帕普斯提出的帕普斯-古尔丁定理来验证。

帕普斯-古尔丁定理

旋转体体积=旋转的平面图形面积×旋转面重心所经过的距离

V=Sd=2πrS

圆锥体和圆柱体都是旋转体，可以用上述定理计算体积。

小学生知道：点动成线，线动成面，面动成体。

一个直角三角形，设三条边长为a，b，c，其中c是斜边长。设b为旋转轴，那么另外一条直角边a就是底面的旋转半径r，而斜边c就是圆锥体的母线。

为了简化计算，设a=½，b=h=1，直角三角形面积为¼。

重心所经过的距离是重心G在旋转过程中的轨迹，是一个圆。设这个距离为d，则有d=2πr。

为了计算半径r，我们建立平面直角坐标系，如图所示。

由解析几何知识可求直角三角形OAB的重心G的坐标。重心坐标公式是：三角形三个顶点横坐标的算术平均数是重心横坐标，三个顶点纵坐标的算术平均数是重心纵坐标。

所以，三角形重心坐标为G(⅓，⅓)。

现在我们求重心旋转轨迹圆的半径。圆心横坐标为½，故r=½-⅓=1/6。

重心所经过的距离d=2πr=⅓π。

所以，圆锥体积等于一个三棱柱的体积，即

V=¼×⅓π=π/12。

再算对应圆柱的体积。长方形的重心在两条对角线的交点上。而长方形的对角线互相平分，即重心G'是斜边OA的中点。根据解析几何的中点坐标公式可得：G'的坐标是O和A的坐标的算术平均数，即

G'(¼,½)

现在求G'的轨迹圆的半径r。同理可证得，

r=½-¼=¼，所以d=2πr=½π。

现在求圆柱体积。长方形面积为½，所以有

V=½×½π=¼π

综上所述，圆锥体积等于对应圆柱体积的三分之一。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。

来源：科学新黑洞