摘要：本文暂推出四种解法。前两种解法较繁琐，解法四较简捷，目前全网没这种解法。

这道题不轻松，据说是八年级的题。

八年级同学敢挑战一下吗？九年级同学也可以试一试。

本文暂推出四种解法。前两种解法较繁琐，解法四较简捷，目前全网没这种解法。

讲解一贯详细透彻，力求篇篇经典，请持续关注。

如附图，△ABC中，∠ABC＝15°，∠ACB＝37.5°，点D是边BC上一点，且∠BAD＝52.5°，△ACD的面积为，求△ABD的面积(要求至少4种解法，八年级最好仅用一次全等，九年级禁用全等)。

凡是三角形题，通常辅助线构造等腰三角形。因为等腰三角形性质很丰富。

如下图，以点A为圆心、以AB长为半径画弧交BC的延长线于点E，则△ABE为底角15°的等腰三角形。∠ACB＝37.5°，∠AEC＝15°，由外角知∠CAE＝22.5°。

以点A为圆心、以AD长为半径画弧，以点E为圆心、以BD长为半径画弧，两弧交于点F，则△AEF≌△ABD(SSS)，则EF＝BD，∠EAF＝∠BAD＝52.5°，∠AEF＝∠ABD＝15°。

所以∠CAF＝∠CAE＋∠EAF＝22.5°＋52.5°＝75°，∠CEF＝∠AEC＋∠AEF＝15°＋15°＝30°。

由已知，∠CAD＝75°，而已求得∠CAF＝75°，故∠CAF＝∠CAD。

在△CAF和△CAD中，AF＝AD，∠CAF＝∠CAD，CA＝CA，故△CAF≌△CAD(SAS)，则∠ACF＝∠ACB＝37.5°，CF＝CD。

∠FCD是△CEF的一个外角，∠FCD＝37.5°×2＝75°，∠CEF＝30°，故∠CFE＝45°。

这时已把BD弄到了EF处、CD弄到了CF处，而且△CEF中有∠CEF＝30°、∠CFE＝45°两个好角。

过点C作CG⊥EF于点G，则△CGF为等腰Rt△，△CGE为含30°角的Rt△。

设CG＝FG＝t，则CF＝t；CE＝2t(30°对的直角边等于斜边的一半)，由勾股定理EG＝t。

故EF＝EG＋FG＝t，则EF:CF＝[t]:(t)＝。

＝×××＝。

您是否感觉解法一很麻烦？貌似有两次全等的嫌疑。

解法二也是作图构造全等。或说是将△ADC旋转了105°。

以点B为顶点、以BA为一边作∠ABD'＝∠ABD＝15°交CA的延长线于点D'，则∠CBD'＝30°。

以点A为圆心、以AC长为半径画弧交BD于点C'，则△ACC'为底角37.5°的等腰三角形。

由外角知∠BAD'＝∠ACB＋∠ABC＝∠37.5°＋15°＝52.5°＝∠BAD。

由△BD'A内角和知∠BD'A＝180°－∠ABD'－∠BAD'＝112.5°。

易证得△BAD'≌△BAD(∠ABD'＝∠ABD，BA＝BA，∠BAD'＝∠BAD，ASA)，故AD'＝AD。

由外角知∠C'AB＝∠ACC'－∠ABC＝∠37.5°－15°＝22.5°，故∠D'AC'＝∠BAD'＋∠C'AB＝52.5°＋22.5°＝75°。

而由已知得∠DAC＝75°，故∠D'AC'＝∠DAC。

由外角知∠ADC＝∠BAD＋∠ABC＝∠52.5°＋15°＝67.5°。

连接D'C'，易证得△AD'C'≌△ADC(AC'＝AC，∠D'AC'＝∠DAC，AD'＝AD，SAS)，

故∠AD'C'＝∠ADC＝67.5°。则∠BD'C'＝∠BD'A－∠AD'C'＝112.5°－67.5°＝45°。

往下就跟解法一很类似了。

以上两种解法，全属于懒婆娘的裹脚布又长又臭！

下面的解法三，还值得一看。

以点C为顶点、以CA为一边作∠ACE＝∠ACB＝37.5°交DA的延长线于点E。

由补角定义知∠BAE＝180°－∠BAD＝180°－52.5°＝127.5°，

由已知得∠DAC＝180°－∠ABC－∠ACB－∠BAD＝75°，

由外角知∠AEC＝∠DAC－∠ACE＝75°－37.5°＝37.5°＝∠ACE，故AE＝AC，

由三角形内角和知∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝127.5°＝∠BAE，

在△BAE和△BAC中，AE＝AC，∠BAE＝∠BAC，BA＝BA，故△BAE≌△BAC(SAS)，

则BE＝BC，∠ABE＝∠ABC＝15°，所以∠DBE＝30°且∠AEB＝∠ACB＝37.5°＝∠AEC，即ED平分∠BEC，故BE:EC＝BD:CD(三角形内角平分线性质，超纲)，

过点E作EF⊥DC于点F，在Rt△BEF中，∠EBF＝30°，若设EF＝t，则BE＝2t＝BC，BF＝t，FC＝t，

==。根式，注意技巧，不要硬算。

解法三也不算简便，且用到了超纲知识点。

下面的解法四，适合九年级同学。目前全网没这个解法。

题中出现了15°角，如下图，以含30°角的Rt△为基准，易求得含15°角的Rt△的斜边是最短直角边的倍。

由三角形内角和知∠DAC＝180°－∠ABC－∠ACB－∠BAD＝75°，

过点D作DE⊥AC于点E，则∠ADE＝15°，

以点D为圆心、以DA长为半径画弧交AC于点F，则△AFD为底角75°的等腰三角形，AD＝DF，又DE⊥AF，故AF＝EF，

由三角形外角知∠FDC＝∠AFD－∠C＝75°－37.5°＝37.5°＝∠C，故DF＝CF，

设AF＝EF＝t，则DF＝CF＝t，故AC＝t，

过点D作DG∥AB交AC于点G，则同位角∠GDC＝∠B＝15°，内错角∠ADG＝∠BAD＝52.5°，

而外角∠AGD＝∠GDC＋∠C＝52.5°，故∠ADG＝∠AGD，则AG＝AD＝t，∴CG＝AC－AG＝2t，

∵DG∥AB，∴＝，

解法四辅助线简便，思路明快，主要用到含15°角的Rt△的性质、等腰三角形性质、平行线分线段成比例。

解法四目前全网没人提供。

平时做题，建议锻炼自己思路开阔，尽量多探究不同解法。

这正如口袋里的钱，积累越多、装得越多，用的时候才方便。

其实，考来考去，本质是题目改编。

所以，不建议做太多的题，以掌握透彻为目标。

作者简介

中共党员，高中教务主任，常年兼任高中数学、物理、化学等科目。中考数学命题组成员。

专注教育领域，持续发布中考、高考压轴大题的多角度原创详细权威解析，力求篇篇经典。从不照搬答案。

发文涉及科目主要有中高考数学、物理，偶尔也有英语、化学、作文。

到了高中，俺依然是您的良师益友。

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来源：天磊教育