摘要：多学科设计优化（MDO）面临的主要挑战是计算成本过高，大规模问题通常需要数小时甚至数天才能完成。工程师通常采用两种策略来缓解这一问题：
多学科设计优化（MDO）面临的主要挑战是计算成本过高，大规模问题通常需要数小时甚至数天才能完成。工程师通常采用两种策略来缓解这一问题：
低保真度模型 ：通过简化物理过程或减少计算量来提高效率，但会牺牲数学建模精度和离散化精度
代理模型 ：特别是神经网络，评估速度快但存在训练误差，在外推时预测误差较大，且参数较多的代理模型训练时间长
物理信息神经网络的潜力与挑战物理信息神经网络（PINNs）提供了一个有前景的中间方案，通过将物理控制方程直接嵌入训练过程，理论上可以在保证快速评估的同时实现高精度。然而，标准PINNs在实际应用中经常收敛到非物理解，限制了其在现实世界问题中的应用。
本文提出了一种混合学习策略，结合PINNs的优势与近似数据的指导作用。核心思想是修改标准PINN损失函数，加入惩罚与近似数据偏差的项：
其中：
：PDE残差损失
：边界条件损失
：近似数据损失
， ，
几何感知神经网络架构网络架构包含三个关键组件：
标准多层感知器 ：使用tanh激活函数，4个隐藏层，每层250个神经元
隐式几何表示 ：使用符号距离函数（SDF）及其导数
傅里叶特征嵌入 ：对空间输入和SDF进行傅里叶特征映射
SDF的定义与作用符号距离函数 表示空间中点 到表面的最短距离，在表面外为正值，内部为负值。由于尖锐解特征通常出现在固体边界附近，通过SDF向网络提供几何信息：
其中 是从表面最近点指向 的单位法向量。
SIREN网络预训练使用正弦表示网络（SIREN）来近似SDF，该网络使用 形式的正弦激活函数。SIREN特别适合表示几何信息和高频函数，其导数保持正弦形式，适用于需要二阶或三阶导数的PINNs。
网络配置 ：
3个隐藏层，每层150个神经元
常数频率
在400,000个空间点上预训练，包含预计算的SDF标签
近似监督数据生成 VortexAD面板方法使用VortexAD开源面板方法求解器生成近似数据，该求解器基于势流理论，通过在固体表面离散化常强度源和偶极子面板来求解无粘、不可压缩流动。
优势与局限性 ：
计算效率 ：单次前向评估仅需几秒钟
精度问题 ：存在离散化误差和低阶公式导致的不准确性
表面奇异性 ：在面板间存在不连续性，导致表面附近速度评估错误
数据生成策略网格分辨率 ：8,000个面板
数据点分布 ：约200,000个空间点的速度和压力数据
排除策略 ：由于表面附近速度错误，排除接近表面的点
压力计算 ：使用伯努利原理和远场条件计算等效点的压力
三维流动预测应用 问题定义针对翼身融合体飞机的三维流场建模，流动条件为：
远场速度： m/s
攻角：
远场压力： Pa
密度： kg/m³
在稳态、无粘、不可压缩流动假设下，求解三维不可压缩欧拉方程的无量纲形式：
其中 是无量纲速度场， 是无量纲压力， 是欧拉数。
训练配置与边界条件 计算域设置三维矩形域 ：包围飞机几何体
对称性利用 ：仅预测 方向的流动，在 平面强制对称约束
配点采样 ：约600,000个PDE配点，飞机表面附近密度更高
动态扰动 ：每个训练周期对配点应用随机扰动
边界条件损失包含三个项：
远场狄利克雷约束 ：使用已知远场自由流值
对称平面约束 ：在 平面强制无流动和光滑导数
流动切向条件 ：在飞机表面强制零法向流动
流动切向条件通过最小化预测速度向量与局部外向单位表面法向量的点积平方来实现：
实验结果与性能分析 定量性能指标混合PINN在640,000个样本外测试点上实现：
平均无量纲PDE误差 ：小于
平均表面切向误差 ：小于2°
评估速度 ：约 秒（相比面板代码的15秒显著提升）
网络架构比较对比四种不同的 模型配置：
基线标准MLP
仅含傅里叶特征嵌入的MLP
仅含几何特征 的MLP
包含傅里叶特征和 的完整架构
完整架构在收敛到相同测试损失方面实现了最快的收敛速度。
通过压力系数 分布对比四种不同模型：
诱导速度计算 （图6a）：在前缘由于奇异性表现出明显伪影和高频噪声
纯数据神经网络 （图6c）：对输出进行了一定正则化，但无法准确捕捉驻点处的尖锐压力梯度变化
自监督PINN （图6e）：预测飞机表面几乎均匀的 ，这是缺乏数据时PINNs的典型失效模式
混合PINN （图6g）：产生与参考面板方法解定性一致的 分布
使用面板方法在8,000个面板中心评估的 分布作为参考解。尽管参考解仍包含离散化误差，但混合PINN通过使用近似诱导速度数据，使网络能够满足控制方程和边界条件而不退化为简并解。
流场可视化与物理合理性 混合PINN流场特征图7展示了混合PINN在不同展向位置的速度和压力场：
物理合理性 ：预测了机体上方的预期加速和相关压力变化
尖锐特征处理 ：即使在翼尖具有尖锐解变化的区域也能正确预测
局部伪影 ：在机翼驻点附近仍存在PDE解的伪影，与前缘附近 分布的偏差一致
自监督PINN的失效模式图8展示了自监督PINN在相同评估点的预测：
静态收敛 ：速度和压力场在域的大部分区域收敛到几乎静态值
PDE满足 ：在大多数配点处满足PDE，但缺乏物理意义
数据重要性 ：确认了即使使用廉价近似数据也能在引导网络向有意义解方面发挥关键作用
速度场对比图9比较了混合PINN的表面速度与作为近似监督的面板方法诱导速度：
混合PINN的改进 ：
消除不连续性 ：面板方法诱导速度的不连续性引起的速度尖峰被消除
速度平滑化 ：速度被平滑为沿表面切向
切向约束满足 ：正确地将流动从机身引开，而诱导速度在前缘违反表面切向约束
PDE和边界条件的正则化作用 ： 这些定性趋势展示了PDE和边界条件约束的正则化效应，这是纯数据方法无法实现的。混合训练方法通过结合物理约束和近似数据指导，避免了传统自监督PINN收敛到的简并解。
当前局限性前缘精度问题 ：混合PINN的 预测与参考解在飞机前缘区域存在不一致，特别是在高表面曲率区域
训练时间 ：即使对于固定几何和单一工况，训练时间仍然很长，限制了PINNs在MDO中的当前适用性
定量验证不足 ：需要更严格的定量验证结果
单一工况限制 ：当前演示仅针对单一流动条件和固定几何
改进方向精度提升 ：改善PINN在前缘等关键区域的精度
训练效率 ：减少训练时间以提高MDO适用性
参数化扩展 ：开发能处理多种流动条件和几何变化的更大网络
可压缩性 ：考虑到此类飞机典型的高巡航马赫数，未来工作需要纳入可压缩性
定量基准 ：建立更严格的定量验证标准
研究贡献与意义 主要贡献实际应用演示 ：在复杂三维几何上成功应用PINNs，这在PINN文献中并不常见
混合训练策略 ：证明了结合廉价近似数据可以显著改善PINNs的收敛性和精度
几何感知架构 ：展示了将几何信息纳入PINN架构可以增强学习尖锐解特征的能力
失效模式避免 ：通过近似监督成功避免了传统PINNs的常见失效模式
对MDO的意义中间方案 ：为MDO提供了介于高保真度模型和低保真度/代理模型之间的有前景选择
实用性验证 ：在实际航空动力学应用上的演示向在MDO工作流中使用基于PINN的模型迈出了重要一步
计算效率 ：一旦训练完成，评估时间与传统监督学习获得的神经网络相当
学术价值本研究填补了PINNs在复杂实际工程问题应用方面的研究空白，为改善PINNs收敛性提供了实用策略，扩展了PINNs在多学科设计优化中的应用潜力。
来源：云阳好先生做实事