数学到底是什么？最聪明的数学家长年累月的思考方法与小学生相似？

摘要：学问发展的一个有趣之处就是“最前沿”与“最简单”相连通，数学家经过长年累月的思考，所研究的最难之处，其思考方法却与小学生的思考方法相似。现代数学的思考方法（仅指思考方法）与小学生所学习的数学非常接近。

数学到底是什么？

数学及其思想是如何从古代、中世纪、近代一路走向现代的？

这其中经历过怎样的转折？

我们为什么要了解数学的发展脉络？

学问发展的一个有趣之处就是“最前沿”与“最简单”相连通，数学家经过长年累月的思考，所研究的最难之处，其思考方法却与小学生的思考方法相似。现代数学的思考方法（仅指思考方法）与小学生所学习的数学非常接近。

远山启在其《数学与生活》系列中非常注重不同数学领域、不同数学知识之间的联系，而且是既有知识之间逻辑推理的联系，也有历史发展的先后承继的联系，让读者对数学产生可亲近感。

新书《数学与生活5》更是延续以往风格，着眼于数学思考方法的历史发展，引导读者对数学产生更深刻的理解。

《数学与生活5：数学的历史、现代与方法》

作者 | [日]远山启

译者 | 武晓宇

数学的变迁

数学一直在变化，我想和大家聊聊这个话题，这将非常有助于各位理解数学，弄懂数学究竟是什么。

或许有人纳闷：“数学真的在变化吗？”这里说的“变化”，其实是数学在“容貌”上的变化。虽然数学的本质没有改变，但其“容貌”在从古代到现代的历程中产生了诸多变化。了解这些变化，将能更好地从本质上理解数学。

在所有学问中，数学恐怕是最古老的一门学问了。早在几千年前人类文明刚刚开始的时候，数学这门学问便已萌芽。从这个意义上说，数学真可谓源远流长。

为了考察跨越几千年的数学历史，我们最好将其划分为几个时代，这样会比较方便。本书的划分方法并非学界定论，而是我根据数学的发展做出的划分。我认为这种划分方法能让各位更好地理解数学“容貌”的变化。

我将数学的历史划分为古代、中世纪、近代、现代四个时代，并将在后文中分别说明数学在这四个时代是如何变化的。

古代数学，是指古代文明时期诞生的数学。古代文明是指古埃及、古巴比伦、古印度和中国。这些文明以农业为中心而诞生。这个时期的数学，现在多出现在小学数学的课程中。在古代与中世纪的交替之际，古希腊人开辟了全新的数学，之后数学就进入了中世纪。在漫长的中世纪时期，为数学史划分出下一个时代边界的是17世纪的笛卡儿。大家可能都非常熟悉，笛卡儿构想出了坐标，而这就是近代数学的开端。近代数学从17世纪持续到19 世纪，而从20世纪起，数学就进入了现代数学的阶段。

现代数学是进入20世纪之后的数学，是数学史中最新的那一段，也是数学发展的前沿。正因为如此，有些读者可能觉得，现代数学的思想相当难，不是一两天就能理解的。但实际上，从某种意义上来说，现代数学反而比古代、中世纪、近代的数学更好理解，因为它有更加接近常识的一面。

从20世纪开始的现代数学，从某种意义上说，其思考方法（仅指思考方法）与小学生所学习的数学非常接近。也就是说，“最前沿”与“最简单”相连通，这也是学问发展的一个有趣之处。数学家经过长年累月的思考，所研究的最难之处，其思考方法却与小学生的思考方法相似，真是有趣。

现代数学中的很多构想，比如集合，已经逐渐进入了学校的数学教科书中。而对于这些内容，一些学生家长当年上学时可能根本没学过，当孩子问家长相关内容时，家长也就不知如何应对。本书或许也能对这类家长有所帮助。

古代数学其实并没有数学中常见的“定理—证明”体系，可以说是非常经验性的东西。古代数学时期的著作，现在留存不多。这些书中会有一些名为“定理”的“一般性法则”，但这些所谓的“定理”并不是以“证明”的形式产生的。古代数学的著作，其形式多是收录很多问题，并记录这些问题的解答方法。

02 古代数学——古埃及、中国

想了解古代数学，其实只要回想一下小学的算术即可。公元前三四千年时，古埃及的数学书记录的便是这类内容。这些数学书的各章记载了相似的问题，并讲述了问题的解法。此时的数学书没有记录“一般性法则”，而是通过让研读者不断解题，最终自行获得一般性的解法。

另外，中国有本较为古老的数学书叫《九章算术》。这部数学书总共由九章构成，故得其名。《九章算术》具体的成书年代不详。据研究者的推测，其内容原本大约出现在中国的战国时期，秦统一天下后，秦始皇焚书坑儒，《九章算术》这类数学书也未能幸免。在秦之后的汉代，有人搜集了散落在各地的残章，重新整理、增补，编纂出了《九章算术》。中国有很多数学著作，《九章算术》是其中较为古老的一部，其写作方式也与我们前文提到的相同：它没有使用“定理—证明”的体系，而是收录许多类似的题目，然后记录这些题目的详细解法。值得一提的是，与同时代其他地方的数学著作相比，《九章算术》的内容是最先进的。

《九章算术》第八章的题目为“方程”。这便是现在数学中经常使用的“方程”的术语起源。由此也可以看到，“方程”可谓历史悠久的古物。“方”是“比较”之意，“程”则指大小，也就是“量”之意。也就是说，“方程”即“对量进行比较”。现在的方程其实也有这层含义，即“对等号左右两边的量进行比较，使其相等”。这就是我们今天所说的一次方程。《九章算术》非常系统地记录了这类方程的解法。但即便是《九章算术》这样优秀的数学著作，也没有使用“定理—证明”的体系来撰写，所以我之前才说古代数学是经验性的。

在当时，《九章算术》是为官吏（政府的工作人员）学习数学而编写的。之前我们提到过的古埃及的数学书也是如此。这类书相当于现在国家公务员考试的参考书，而不是大众读物。也就是说，如果不掌握这些书上的数学知识，那么当时政府的工作人员就无法顺利完成工作。例如，计算田地的面积就需要掌握四边形、三角形、圆面积的相关知识。而且，在古代数学中，出现过即便从现在的角度看，水平也相当高的数学内容。例如，在古巴比伦的数学中，出现过现在的二次方程的解法。

数学究竟是如何发展出这些内容的呢？

我认为是当时的社会发展对数学提出了这种程度的要求。例如，维持国家的运转需要有效的行政系统，那自然就需要建立税收系统。另外，修建道路、兴建治理河流的水利工程以及建造金字塔之类的大型建筑，这些都需要管理者具备相当高水平的数学知识。

由此可见，数学果然不是头脑中单纯的思维游戏，它的发展是在社会发展需求的刺激下产生的，在古代文明时期尤其是这样。

在以农业为主的古代文明国家中，还有一门学问与数学一起获得了发展，那就是天文学。古代天文学的发展，绝不是因为古代人出于乐趣去眺望星空，而是为了满足农业上的需求。

对于农业而言，了解气候，也就是了解季节之事是最重要的。我们现在都知道，一年有365天，但古时候的人们最初并不知道这一点，这其实是长时间观星而得出的结果。如果不明白这一点，那么人们就无法知道应该在什么时候播种。了解时节变化，把握季节更替，对于农业国家而言至关重要。即使到了现代，虽然住在城市里的人已不用再过多关注季节变化，与播种之类的事情也渐行渐远，但对于依旧从事农业的人而言，不了解季节之变可以说就无法生存。所以，以农业为主的古代国家，其天文学自然会得到发展。

天文学的发展中会出现计算方面的需求，而这则会刺激数学的发展。可以说，这是数学发展的基础。古代数学的“容貌”，大致就是如此了。

古希腊数学与泰勒斯

古代数学进化到下一阶段，其契机来自古希腊文明。大约在公元前6世纪到公元前5世纪，古希腊文明登上历史舞台。与古埃及、古巴比伦等文明不同，古希腊的农业并不繁荣，出产的农作物多是橄榄、葡萄等。

古希腊以商业贸易为主，即将橄榄、葡萄等产物用船卖到地中海附近的地区。也正因为如此，古希腊所需要的数学知识也不同于之前那些以农业为主的文明古国。

各位读者可能在课堂中听说过古希腊的七贤之首泰勒斯（约前624 —约前547）。泰勒斯常被称为古希腊哲学的开山鼻祖，他其实也是古希腊数学的开山鼻祖。另外，据说泰勒斯还是一位商人，头脑非常好，做生意做得也挺成功。

那个时期的古希腊人会频繁到古埃及和古巴比伦做生意，得益于此，古希腊人也学习了古代数学的成果。之后，古希腊人用一种全新的思考方法将数学推进到了一个全新的阶段。这种新的思考方法是什么呢？那就是古代数学中所欠缺的“证明”。

泰勒斯本人并没有撰写过任何著作。在那个时期，人们似乎并不把写书看作了不起的事情。当时的著书者，多被世人看作二流之人，而非一流。例如，耶稣本人没有写过书，释迦牟尼也没有。佛经多是释迦牟尼的弟子对其说教的记录。苏格拉底（前470 — 前 399）自己也未曾写书，其话语大多由他的弟子柏拉图（前427 — 前 347）以“对话”的形式记录下来。中国的孔子也是如此，《论语》也是由其弟子记录孔子的言论而写成的。在那个时期，伟大的思想家自己都不怎么写书。

泰勒斯也是此类“不著书者”之一。他思考的事情，以及他是如何思考的，也都是由他人记录下来的。当然，这些记录中也包括他对数学的思考。据说，泰勒斯的数学成就之一便是提出了三角形全等的判定定理，即两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。换言之，如果三角形的两个角及其夹边确定，那么这个三角形便确定了。泰勒斯最先提出了这个三角形全等的判定定理，并对其进行了证明。

其实，泰勒斯之所以会提出这个定理，与他所从事的生意有很大的关系，或者说和他父亲是往返于地中海的商人有很大的关系。如果想通过海岸线上的两点来判断在近海上航行的船只的位置，那么就可以使用这个定理。例如，可以测量陆地海岸线上的两个点分别到船只方位的角度，知道了这两个角度以及两点间的距离，便可以确定一个三角形，也就可以确定船的位置。另外，据说泰勒斯还证明了“等腰三角形的两个底角相等”。

泰勒斯将“证明”一词带到了数学中。此后，“证明”，即“描述一般性法则，并对其进行证明”，成了数学中不可或缺之物。从这层意义上说，古希腊以前的数学与古希腊之后的数学，可谓大不相同。就这样，古希腊人开辟了数学的新时代。

《数学与生活5：数学的历史、现代与方法》

作者：[日]远山启

译者：武晓宇

走向现代数学的通道：一本书讲明现代数学的本质和意义，读懂百年数学。高中生应该人手一册。现代数学的“通关地图”：针对数学教育中的“知识碎片化”问题，独创性地用“结构”（群/域/拓扑空间）串联现代数学核心领域，通过同构、同态等统一视角，将离散的代数、几何、分析知识整合为有机体系。

本书是关于“数学是什么”的通俗科普读物。作者着眼于数学思考方法的发展，将数学划分为古代数学、中世纪数学、近代数学、现代数学，以生动的讲述方法清晰呈现了数学的发展脉络，并结合日常经验讲述了诸多数学概念与思想的来源与发展。此外，本书还通俗地讲述了现代数学中的重要概念与方法，引导读者对数学产生更深刻的理解。