2024北京清华附中初三（上）期中数学

摘要：核心知识点：掌握轴对称图形（沿直线折叠后两边重合）和中心对称图形（绕某点旋转 180° 后与原图重合）的定义，能区分常见图形的对称性（如菱形、矩形、圆等）。考题应用：第 1 题判断选项中既是中心对称也是轴对称的图形，需结合定义逐一分析图形特征。

一、图形的性质与变换（22 分，占比约 16%）

1. 轴对称与中心对称图形（2 分）

核心知识点：掌握轴对称图形（沿直线折叠后两边重合）和中心对称图形（绕某点旋转 180° 后与原图重合）的定义，能区分常见图形的对称性（如菱形、矩形、圆等）。

考题应用：第 1 题判断选项中既是中心对称也是轴对称的图形，需结合定义逐一分析图形特征。

2. 旋转与位似作图（10 分）

旋转作图：明确旋转中心、旋转方向和旋转角度，能根据已知点坐标绘制旋转后的图形（如第 18 题以 A 为旋转中心顺时针旋转 90° 作△AB₁O₁），并利用旋转性质推导线段、角度关系。

位似作图：掌握位似图形的定义（对应点连线交于位似中心，相似比固定），能以原点为位似中心，按指定相似比（如 1:2）和位置（第三象限）作位似图形（第 18 题），并计算位似后点的坐标。

3. 尺规作图（5 分）

过圆外一点作圆的切线：第 19 题通过作 OP 垂直平分线、以中点为圆心画弧找切点，核心依据是 “直径所对的圆周角为 90°” 和 “切线的判定定理（垂直于半径外端的直线是切线）”，需熟练掌握作图步骤及理论依据。

4. 多边形外角和（2 分）

核心结论：任意多边形的外角和均为 360°，与边数无关。第 3 题直接考查八边形外角和，直接应用结论即可得出答案。

5. 特殊四边形性质（7 分）

菱形：第 5 题利用菱形 “对边平行且相等” 的性质，证明△AFE∽△DCE，结合相似比求 AF 的长度，需关联相似三角形的判定（平行线判定相似）与性质（对应边成比例）。

矩形：第 14 题借助矩形 “对边平行” 的性质，结合角平分线得出等角，进而推导等腰三角形（BE=BC），再用勾股定理计算 BC 的长度，体现矩形性质与勾股定理的综合应用。

二、方程与函数（32 分，占比约 23%）

1. 一元二次方程（12 分）

基本概念：明确一元二次方程的一般形式\(ax²+bx+c=0\)（a≠0），区分二次项系数（a）、一次项系数（b）、常数项（c），第 2 题直接考查\(2x²+3x-4=0\)的一次项系数。

根的判别式：第 20 题利用判别式\(\Delta = b²-4ac\)判断根的情况，当方程有两个不相等实数根时，\(\Delta > 0\)，据此求解 m 的取值范围，并代入最小整数 m 求方程的根，需掌握判别式公式及解方程的方法（如因式分解法）。

实际应用（增长率问题）：第 13 题考查连续两次降低成本的问题，根据 “原价 ×(1 - 降低率)²= 现价”，列出方程\(300(1-x)²=192\)，需理解增长率问题的等量关系模型。

2. 二次函数（15 分）

图像平移：遵循 “左加右减、上加下减” 的规律，第 10 题将\(y=-3x²\)向左平移 2 个单位、向上平移 5 个单位，得到解析式\(y=-3(x+2)²+5\)，需注意平移对自变量和函数值的影响。

性质应用（增减性与函数值比较）：第 7 题先确定二次函数\(y=-x²+2x+c\)的对称轴（\(x=1\)）和开口方向（向下），根据 “离对称轴越远，函数值越小”，比较三点到对称轴的距离，进而判断\(y₁、y₂、y₃\)的大小关系。

解析式求解：第 26 题（1）小题利用待定系数法，将点 (2,1) 代入抛物线\(y=ax²-2a²x+1\)，求解 a 的值，需掌握代入法解方程的步骤；（2）小题结合二次函数的对称轴（\(x=a\)）和增减性，通过对称点转化，求解 a 的取值范围，体现函数性质的综合应用。

3. 一次函数（5 分）

解析式求解：第 22 题（1）小题用待定系数法，将两点 (4,1)、(0,-1) 代入\(y=kx+b\)，解方程组求出 k 和 b，得到解析式\(y=\frac{1}{2}x-1\)。

函数值比较：第 22 题（2）小题根据 “x>-2 时，\(y=mx\)的值大于一次函数值”，结合两函数的交点和图像位置，确定 m 的取值范围（\(\frac{1}{2}≤m≤1\)），需结合一次函数的图像特征分析。

三、圆的相关知识（26 分，占比约 19%）

1. 圆周角定理及推论（7 分）

直径所对的圆周角为直角：第 6 题中 AC 是直径，故\(\angle ABC=90°\)，结合\(\angle BAC=40°\)求出\(\angle ACB=50°\)，再根据 “同弧所对的圆周角相等”，得出\(\angle D=\angle ACB=50°\)；第 24 题（1）小题利用直径性质推导角度关系，证明\(\angle E=90°\)。

圆周角与圆心角的关系：第 15 题连接 OA、OB，根据切线性质（OA⊥PA，OB⊥PB）和四边形内角和，求出\(\angle AOB=84°\)，再由 “圆周角是圆心角的一半”，得\(\angle ACB=42°\)。

2. 切线的性质与判定（10 分）

切线性质：切线垂直于过切点的半径，第 24 题（1）小题中 ED 是切线，故\(\angle ODE=90°\)，结合平行线性质（AC∥OD）推导\(\angle E=90°\)；第 15 题利用切线垂直半径，构建四边形求圆心角。

切线判定：第 19 题通过尺规作图构造直角（\(\angle OBP=90°\)），依据 “垂直于半径外端的直线是切线” 判定 PB 是切线，需掌握判定定理的应用条件。

3. 垂径定理（4 分）

核心内容：垂直于弦的直径平分弦，第 21 题中 AB⊥OD，故\(AC=\frac{1}{2}AB=8cm\)，在 Rt△AOC 中用勾股定理求 OC=6cm，进而求出油面高 CD=OD-OC=4cm，需结合勾股定理解决弦长、半径、弦心距的计算问题。

4. 弧、弦、圆周角的关系（5 分）

等弧对等弦、等圆周角：第 24 题（2）小题中\(\overparen{DB}=\overparen{DC}\)，故 DB=DC=\(\sqrt{5}\)，\(\angle CAD=\angle BAD\)，结合角平分线性质（DF=DE=2）和勾股定理，求出圆的半径和 AD 的长度，体现弧、弦、角关系与勾股定理的综合应用。