摘要：科学探索常常是对最基本构件的追寻。就物质结构而言，这场跨越几个世纪的探索，带来了分子和原子的发现，随后是质子与中子，然后是标准模型中的基本粒子（夸克、电子、中微子、μ子、τ子），最后提出了弦的理论。在广袤的宇宙空间中，天文学家如今也在寻找宇宙中最早形成的恒星及

科学探索常常是对最基本构件的追寻。就物质结构而言，这场跨越几个世纪的探索，带来了分子和原子的发现，随后是质子与中子，然后是标准模型中的基本粒子（夸克、电子、中微子、μ子、τ子），最后提出了弦的理论。在广袤的宇宙空间中，天文学家如今也在寻找宇宙中最早形成的恒星及星团——它们是如今巨大星系的基本构件。

在群论领域，这场探索的目标是分类所有单群（即没有非平凡正规子群的群），并以这些单群为基础构造出所有其他群。简单李群的里程碑式分类工作，是由威廉·基林（Wilhelm Killing）与埃利·卡坦（Élie Cartan）在十九世纪末完成的。李群是索福斯·李（Sophus Lie）在1874年定义的连续变换群（例如三维空间中的旋转群）。由于其本质，李群包含无穷多个元素（例如旋转角度可以无限多）。尽管如此，只需有限个参数就能完整刻画一个李群。例如，平面上圆的旋转群，通常记作 SO(2) 或 U(1)，其元素完全由一个参数——旋转角度——来确定，因此该群的维度是1。三维空间中球体旋转的群，可以用三个参数刻画——两个参数确定旋转轴的位置，一个参数确定旋转角度，因此该群，记作 SO(3)，其维度为3。

基林和卡坦成功找到了四个无限族的李群（传统上称作 A_m、B_m、C_m、D_m，其中 m=1,2,3,…），以及五个孤立的李群，它们是无法归入任何族的“特例”。这些孤立群通常被称作 G_2、F_4、E_6、E_7 和 E_8，其维度分别是14、52、78、133 和 248。正如我在第七章中所描述的，简单李群不仅在标准模型中扮演着至关重要的角色，未来也可能成为弦论中的核心工具。

而有限单群的分类任务，事实证明比李群的分类更为艰巨。到十九世纪末，数学家们已经发现了六个无限族和五个孤立的有限单群。其中一个族，正是由伽罗瓦本人在研究五次方程不可解时定义的。回想一下，在一个集合的置换中，如果有偶数次逆序变化，就称为偶置换；如果有奇数次逆序变化，则称为奇置换（参见第六章）。例如，将序列 1234 变为 1324是一个奇置换，因为只涉及一次逆序（3排在2之前）；而 4321 则是偶置换，因为可以验证它包含六次逆序。

我们已经知道——n 个对象的所有置换构成一个有 n! 个元素的群。事实上，凯莱（Cayley）定理指出，每一个群都与某个置换群具有相同的结构。而所有偶置换的集合，也构成一个群——即全置换群的一个子群。这一点很好理解：如果一个置换有偶数次逆序，接着再进行另一个偶置换，总的逆序次数依然是偶数，因此群的封闭性成立。这类群称为交替群。伽罗瓦证明了，当元素数大于4时，交替群都是单群，而这正是他用来证明五次方程不可用根式公式解的重要性质。

另一类数学家在十九世纪末已经掌握的有限单群，与我们研究音乐音阶时遇到的结构类似。就像从0到11的数字在“模12加法”下形成一个群一样，从0到 n−1 的数字，在“模 n 加法”下也能形成一个群，无论 n 是多少。这类群被称为循环群。当循环群的元素个数为质数时，这个循环群就是单群。

除此之外，另外四个有限单群族，在很多方面与对应的李群族等价。

1955年，法国数学家克洛德·谢瓦莱（Claude Chevalley, 1909–1984）发现了新的单群族。事实上，那些孤立的李群，后来被证明是生成若干有限单群族的源头。最终，数学家们一共识别出了18个族的单群。

孤立有限单群的故事，则始于法国数学家埃米尔·莱昂纳·马蒂厄（Émile Léonard Mathieu, 1835–1890）。1860年至1873年间，在研究有限几何时，马蒂厄发现了前五个孤立单群，后来它们被命名为“马蒂厄群”。其中最小的群有7,920个元素，最大的则有244,823,040个元素。此后整整一个世纪，没有再发现任何新的孤立单群，直到1965年，南斯拉夫数学家兹沃尼米尔·扬科（Zvonimir Janko）发现了第一个新的孤立单群。

事实上，一些孤立单群在被发现之前，就已被数学家预测过。就像 SU(3) 对称性预测了 Ω 粒子的存在一样，扬科证明，如果具有某些特性的单群存在，它必然包含 175,560 个元素。经过一页又一页密密麻麻的计算，扬科终于构造出了这一单群，现在称为 J_1。他的发现结束了长达一个世纪的“冬眠”，也开启了为期十年的发现黄金期。

1965年至1975年间，数学家们相继构造出了不少于21个新的孤立单群，至此，除了18个族外，共有26个孤立单群。其中最大的一个，通常被称为“怪兽（Monster）”，其包含的元素数量之巨大，令人难以置信！对于那些热衷质数的人来说，这个数字可以精确写成一连串质数因子的乘积。

1973年，德国数学家伯恩德·费舍尔（Bernd Fischer）和美国数学家罗伯特·格里斯（Robert Griess）几乎同时预测了怪兽群的存在，而格里斯在1980年最终构造出了它。除了怪兽群，费舍尔又发现了另外四个孤立群，扬科也在澳大利亚和德国发现了数个，英国数学家约翰·康威（John Conway）则发现了另外三个。

识别出18个族和26个孤立单群，仅仅是这段数学史上最宏伟、最具挑战性项目的起点。接下来的目标是：毫无疑义地证明，这份分类确实涵盖了所有有限单群。换句话说，要证明每一个有限单群，要么属于18个族之一，要么就是26个孤立群之一。

领导这项浩大工程的人，是美国数学家丹尼尔·戈伦斯坦（Daniel Gorenstein, 1923–1992）。他后来把这场分类工作称为“三十年战争”，因为这项分类的大部分进展，确实集中在1950年至1980年的三十年间。

戈伦斯坦生于波士顿，就读于哈佛大学，在本科阶段便对有限群产生了兴趣。二战期间，他参与了战争工作，向军方教授数学。战后他返回哈佛攻读研究生，并于1950年完成博士学位。在随后的几年里，他主要研究代数几何，但到1957年，他重新回到了有限群的研究领域，并在1960–1961学年投入到了有限单群分类的研究。

除了发现那二十一个新的孤立单群之外，还有两件至关重要的事件，为随后对分类难题的全面进攻奠定了坚实基础。

其一，是德裔美籍数学家理查德·布劳尔（Richard Brauer，1901–1977）于1954年在阿姆斯特丹发表的一场重要演讲。在那次具有开创性的演讲中，布劳尔提出了一种新的分类思路：通过识别简单群中一些类似“核心”的小结构（他称之为“核”），来揭示这些核心与整个群在性质上的相似之处。布劳尔的设想是，把这些“核”作为分类的起点，用以检验一个任意给定的群是否可以与已知的某个简单群对应。

其二，是芝加哥大学的数学家沃尔特·费特（Walter Feit）和约翰·汤普森（John Thompson）在1963年证明的一个重要定理。这个定理基本上说明：任何有限简单群（除了循环群）都必须拥有一个偶数阶。早在1906年，英国数学家威廉·伯恩赛德（William Burnside，1852–1927）就已经提出过这一猜想，被称为“伯恩赛德第二猜想”。然而，这个命题的严格证明一直未能完成，直到费特与汤普森耗费大量精力，终于在1963年将证明写成了一篇长达 255 页 的巨著，刊登在《太平洋数学杂志》（Pacific Journal of Mathematics）上。这个后来被称为奇数阶定理（Odd Order Theorem）的成果，震动了整个数学界。更为重要的是，论文中引入的全新思想与方法，成为后续分类工作的坚实基石。

正如戈伦斯坦1989年回忆的那样：“主要是在奇数阶定理的推动下，有限群论领域出现了觉醒的热潮。在接下来的十五年中，一大批极具天赋的年轻数学家投身于这个领域，他们后来都成为完成这项分类证明的核心力量。”

有了布劳尔的洞见和费特–汤普森定理的强力支持，戈伦斯坦在1972年提出了一个大胆的十六步计划，希望最终完成有限单群的分类证明。他当时谨慎而乐观地预测，这一庞大的证明工作有望在二十世纪末之前完成。

这项计划的规模，前所未有。整个证明最终动员了约一百位数学家，产出了大约 15,000 页 的证明，分布在 500 篇学术论文 中。即便如此，戈伦斯坦最初对时间的估计仍然显得并不过分。事实上，俄亥俄州立大学数学家罗恩·所罗门（Ron Solomon），这项研究的核心成员之一，在1995年曾写道：“除了戈伦斯坦本人，没有任何一位顶尖群论学家相信，这项分类工作能在二十世纪之内完成。”

然而，正如数学史中常见的那样，有时一个人的出现就能改变整个局面。对于有限单群分类而言，这个人就是加州理工学院的数学家迈克尔·阿什巴赫（Michael Aschbacher）。凭借一系列“闪电般的突击”，阿什巴赫攻克了几处重大难关，迅速推动了整个证明进程。正如戈伦斯坦后来所说：

“还有许多其他群论学家对分类证明做出了重要贡献，但正是阿什巴赫在20世纪70年代初进入这一领域，彻底改变了单群研究的格局。他以坚毅而专注的态度迅速成为领军人物，带领整个‘团队’在接下来的十年中稳步推进，直到分类证明完成。”

令人惊讶的是，到了 1983年，整个数学界普遍认为分类证明已经基本完成。然而，由于这份证明过于庞大和复杂，戈伦斯坦、所罗门以及数学家理查德·莱恩斯（Richard Lyons）从1982年开始合作，着手一个宏大的修订工程，目标是把原本繁冗的证明整理成更简洁、更连贯的版本。

在随后的几年中，数学家们陆续发现了原始证明中的一些重要漏洞。最后一个显著的缺口，终于在 2004年8月 由阿什巴赫与伊利诺伊大学数学家斯蒂芬·史密斯（Stephen Smith）合作完成的一部两卷本巨著中被补上。

与此同时，戈伦斯坦–莱恩斯–所罗门的修订工程也在稳步推进，目前已经出版或即将出版 六部专著，但预计至少还需要五年的时间，才能完成这项史诗级的数学工程。

近年来，对有限群的研究已经与数学的其他许多分支紧密交织在一起，从拓扑学到图论，应用范围极其广泛。甚至有一些推测，认为有限群的理论与量子场论之间还潜藏着尚未被完全揭示的深刻联系。

伽罗瓦当年引入群的概念，并构造出首个有限单群的族，不过是为了一个看似朴素的目标——弄清楚哪些方程可以用公式解，哪些不可以。然而，假如他能看到如今这一切，他一定会为自己当初的创举感到无比欣慰。

正如所罗门对这场“三十年战争”的成果所作的精妙总结：

“在研究单群的鼎盛时期，数学的爆发式发展带来了对有限群结构的惊人洞见，也揭示出了一些数学苍穹中最为迷人的存在。”

来源：老胡科学一点号