摘要：林开亮老师在一场主题为《数学之美》的讲座中分享了一道尺规作图问题，他说这是杨振宁15岁高考遇到的题目，而且还是一道压轴题。本文的两位作者分别解了一下这道题，结果我们的解法不谋而合，林老师建议我们将这道题目的解法整理成文分享给更多读者。

林开亮老师在一场主题为 《数学之美》 的讲座中分享了一道尺规作图问题，他说这是杨振宁15岁高考遇到的题目，而且还是一道压轴题。本文的两位作者分别解了一下这道题，结果我们的解法不谋而合，林老师建议我们将这道题目的解法整理成文分享给更多读者。

1. 问题呈现

平面上给定一条直线，一个圆以及圆周上一点，求作一个圆，使它与给定的直线相切，且与给定的圆相切到所给定的点。

有兴趣的朋友不妨先自行思考一下，再看后面的解答。

2. 思路分析

（1）题目是纯文字表述的，首先用数学语言重新表述一下，也就是写出“已知”和“求作”。

已知：直线 AB 和 ⊙O 及 ⊙O 上一点 P，如图1所示。

求作：⊙M，使 ⊙M 与直线 AB 相切，同时与 ⊙O 相切于点P。

图1

（2）如图2，假设满足要求的使⊙M已经作出来了，首先因为⊙M与⊙O相切于点P（这里画的是外切，也有可能内切），所以圆心M在直线OP上。另外，⊙M又与直线AB相切，设切点N，则MN⊥AB，且MN=MP。

图2

（3）接下来最关键的一点就是作出⊙M与⊙O的公切线，即过点P作直线OP的垂线。假设公切线交直线AB于点Q，由MN⊥AB，MP⊥PA，MN=MP 可知，点 M 在∠PQN的角平分线。

（4） 因此我们只要作∠PQN的角平分线与直线OP相交就可以得到圆心M。如果再作∠PQA的角平分线与直线OP相交就可以得到另一个满足条件的圆心M。两种情况分别与⊙O外切和内切。

3. 解答

根据以上分析，得到如下作图方法：

（1）连接直线OP；

（2）过点P作直线OP的垂线交直线AB于点Q；

（3）作∠PQB的角平分线与直线OP相交于点M；作∠PQA的角平分线与直线OP相交于点M’。

（4）以点M（或M’）为圆心，MP（或M’P）为半径作⊙M或⊙OM’，⊙M或⊙OM’都是满足条件的圆。

注： 以上的作图方法只是作图的基本思路，省去了作图的细节。另外，还有一些特殊情况我们也略去了，比如说当 OP⊥AB 时，上述的作图方法已不适用，且满足条件的圆只有一个，此时的作图方法很容易看出来；再比如说当直线AB与⊙O相切于点P时，满足条件的⊙M有无穷多个。你不妨自己动手试试，此处不再赘述。

4. 致谢

感谢西北农林科技大学林开亮老师给我们分享此题，并提供写作建议和帮助。

林开亮老师还分享了一道IMO（国际数学竞赛）的试题，也是一道尺规作图的问题，具体哪一届的我先不说，有兴趣的读者可以做一做。

来源：云阳好先生做实事