摘要：在绘画艺术作品中，不乏含有精妙的数学元素，比如完美的几何图形、分形、黄金分割等。当然，很多数学解读是后来人们为之赋予的，创作者本身并不了解其中的奥秘，此时艺术与数学却和谐交融。本文介绍的艺术家艾玛·昆茨的作品正是这样一个例子。饶有趣味的是，昆茨本人是一位通灵治
在绘画艺术作品中，不乏含有精妙的数学元素，比如完美的几何图形、分形、黄金分割等。当然，很多数学解读是后来人们为之赋予的，创作者本身并不了解其中的奥秘，此时艺术与数学却和谐交融。本文介绍的艺术家艾玛·昆茨的作品正是这样一个例子。饶有趣味的是，昆茨本人是一位通灵治疗师，她没有正规的艺术背景，从事的工作在如今会被贴上伪科学标签。但她在帮助患者过程中创造了超越时代的艺术作品，得到了今天艺术界极高的评价。画作中显而易见的数学内容，不仅吸引了公众的目光，也让专业的数学家感兴趣——他们发现，昆茨作品中有许多包络线。
撰文 | Sumit Dhar、Pamela Gorkin Sofi Jeffrey（巴克内尔大学数学系）
翻译 | 许钊箐
艾玛·昆茨（Emma Kunz，1892-1963）是瑞士的研究者、幻想艺术家，也是一名心灵疗愈师。为了帮助她的患者，她使用辐射感知疗法（radiesthesia），一种涉及占卜摆锤的技术，她认为摆锤受到能量场引导。把使用摆锤所得到的点用石墨线连起来，再填上颜色，她创造出许多几何图画。这些作品有时会被称为精神（spiritual）艺术或者幻想（visionary）艺术，如今已多次在重要的个人展和群展中展出。1993年，她的作品No.095（图1）甚至登上了瑞士邮票。
尽管昆茨使用她的艺术来答疑解惑，并深入了解她的患者，但我们特别感兴趣的是那些绘画展现的数学内容。她创作的曲线可以被看作是众多直线的包络线，因此我们可以在包络算法的帮助下进行分析。事实上，在我们所研究的作品中，昆茨反复运用了一种技法，这使得那些出现在她诸多作品中的包络曲线能够被计算出来。而她对色彩、镜像、平移和旋转的巧妙运用，又使这些作品各具特色。本文将探讨昆茨作品中的图案、数学变换，以及能够揭示其结构的原理。我们相信，这一研究为包络算法提供了一个理想的应用实例。
图1 1993年发行的瑞士邮票，以昆茨的095号作品为图案。
艾玛·昆茨与她的作品
艾玛·昆茨（图2）1892年出生于瑞士阿尔高州一个贫穷的织工家庭。1909年对她而言尤为艰难：那一年，两位姐妹去世，之后父亲也自杀了。不久之后，她开始使用摆锤进行预言、心灵感应以及疗愈。19岁时，她迈出了不寻常的一步——前往美国追求自己的兴趣爱好。然而一年之后，她失望地回到了瑞士，并重新开始施行心灵治疗。
图2 艾玛·昆茨（图片由艾玛·昆茨基金会提供）
此后，昆茨在一家针织厂打工养活自己。1923年至1939年间的夏季，她在具象艺术家和艺术评论家雅各布·弗里德里希·菲尔蒂（Jakob Friedrich Welti，1871-1952）的家中担任管家，并在此后与这一家族建立了深入的联系。在1942年，昆茨开始在毫米方格纸上作画，并和她在布里特瑙的姐妹一起发现了一种“瑞士治疗石粉”，名为AION A。1939年，她离开了菲尔蒂家族，并搬到了离她兄弟更近的地方，之后在阿彭策尔的瓦尔德施塔特附近建造了一所房子，因为这里允许她实践自然疗法。
有关艾玛·昆茨的生平和工作的信息收录在她的一位患者安东·迈尔（Anton Meier）所著的《艾玛·昆茨》（Emma Kunz）一书中[9]。他们第一次相见时，迈尔患有小儿麻痹症，他的父亲带他去拜访昆茨。“第一次治疗时，昆茨展现了（AION A）巨大的治疗能力”（注1：参考https://www.emma-kunz.com/en/）。安东康复了，他们也成了朋友。
迈尔目睹了昆茨的工作过程：“直到今天，我都不敢相信她可以用摆锤那么快地找到那些点并灵活地绘制线条。没有数数，没有计算，没有测量，也没有构造。”[9,P.30] 她对着摆锤发问，范围从政治到个人或者哲学。她用摆锤轨迹提供的点，绘制线条并增添颜色。她的众多作品都没有标题，也不标记日期，她相信这样可以让它们以新的方式被诠释。
尽管这个过程表面上没用测量、计数和计算，但许多她在方格纸上创作的作品（甚至可能是大多数）都使用了等距线条、对称或者几何图形。正如昆茨所说，“我的作品是为了21世纪而设计。它们传达了作为维度、韵律、符号、数字和原理变换的构造和形式。”（注2：参考https://www.emma-kunz.com/en/）
艾玛·昆茨于1963年1月16日在瓦尔德施塔特去世，后被安葬在布里特瑙。1986年，迈尔创立了艾玛·昆茨中心（Emma Kunz Center）来保存昆茨的探索和创作。参观者可以游览附近的洞室，艾玛曾在那里发现了AION A。
昆茨创作语境
2018-2019年，《世界接收者》（World Receivers）展览会在慕尼黑举办。正如该展览的策展人所言：
《世界接收者》展览带领观者走入现代主义历史中一段非凡而鲜为人知的篇章：英格兰的乔治亚娜·霍顿 （Georgianna Houghton，1814-1884），瑞典的希尔玛·阿芙·克林特（Hilma af Klint，1862-1944），以及瑞士的艾玛·昆茨，她们各自完全独立地发展出具有丰富含义的高度抽象视觉语言。她们都致力于在作品中将自然规律、精神世界与超自然现象加以可视化，并以坚定而自信的姿态追随各自的信念。[1]
这并非孤例：人们常将艾玛·昆茨与更广为人知的希尔玛·阿芙·克林特相提并论，但不同的是，阿芙·克林特受过专业艺术训练，而昆茨并无正规艺术背景。她们两人同属于抽象艺术家的行列，只有个别作品的确具有一定的相似性（可对比图3右侧克林特的作品与左侧的昆茨的作品）。
图3 左：昆茨第168号作品，现印于Aion A产品包装上（图片由艾玛·昆茨基金会提供）。右：希尔玛·阿夫·克林特作品， Altarpiece No. 1, Group X，1915年，布面油画并使用金属箔（图片由希尔玛·阿夫·克林特基金会提供）
具体而言，阿芙·克林特早期的作品呈现出鲜明的几何风格；她也将通灵实践融入创作，试图通过降神会与超自然存在进行沟通。(注3：在那个时代，许多人自认为是通灵者，其中包括英国自然学家、进化论生物学家阿尔弗雷德·拉塞尔·华莱士（Alfred Russel Wallace, 1823-1913）。美国第一夫人玛丽·托德·林肯（MaryToddLincoln，1818-1882）甚至曾在白宫中举行通灵会。数据显示，仅在19世纪后期，美国有400万至1100万人自称是通灵者[3]。）
然而，由于阿芙·克林特将其主要作品私藏，并且要求在她去世20年内不得公开展示，所以昆茨等人几乎不可能受到她的影响。直到1986年，阿芙·克林特的作品在洛杉矶郡艺术博物馆的《艺术中的灵性：1890-1985年抽象绘画》（The Spiritual in Art: Abstract Painting 1890–1985）展览中作为具有争议性展品之一展出，才开始获得广泛关注。此后，阿芙·克林特的作品接连亮相于多个国际重要展馆，包括丹麦的路易斯安那现代艺术博物馆和美国的古根海姆美术馆。（注4：部分画作的作者身份，至今仍存争议[14]。）
昆茨的创作于1973年开始被认可为艺术作品，这比阿芙·克林特1986年的展览早了13年。昆茨的作品曾在瑞士的阿尔高艺术馆展出，并入选了哈拉德·塞曼（Harald Szeemann）1975年策划的展览《单身机器》（The Bachelor Machines）。（注5：塞曼是一位瑞士策展人、艺术史学者，一生策划超过两百场展览，其中许多展被认为具有开创性意义。策展人过去主要是艺术品的看护者与展览的执行者。但在整整50年前，塞曼在伯尔尼美术馆策划的一场划时代的展览，彻底打破了这一界限——他的影响几乎可以说是无限大的。1961年塞曼就成为馆长，那时他年仅28岁。[13]）
塞曼特别指出，在1991年-1992年苏黎世艺术馆的《预见瑞士》（Visionary Switzerland）展览、马德里的索菲亚王后国家艺术中心博物馆，以及杜塞尔多夫艺术馆举办的展览中，昆茨的作品均引发广泛关注。2019年，昆茨四十余幅罕见画作[6]亮相伦敦蛇形画廊，这次展览被描述为“已故瑞士幻想艺术家、疗愈师和研究者艾玛·昆茨在英国的首次个人展览”。该展与瑞士格劳宾登州的苏施博物馆共同策划。蛇形画廊官网援引了塞曼的评价：
（昆茨的）天赋在于她能够感知那些既违背日常经验、又超越自然科学与艺术法则的隐秘联系。这是一种超自然现象，一种奇迹——在揭示神圣真理的同时，传递着一种与宇宙创生同频的隐秘脉动。艾玛昆茨的绘画作品正是寻找一种普世关联的尝试。[6]
2021年，阿尔高艺术馆举办展览《艾玛·昆茨的宇宙：与当代艺术对话的愿景》（Kosmos Emma Kunz: A Visionary in Dialogue with Contemporary Art），展出了昆茨60幅作品。次年，即2022年，《艾玛·昆茨的宇宙：与当代艺术对话的愿景》巡展来到西班牙巴斯克自治区的“塔巴卡莱拉（Tabakalera）”文化中心——一个由旧烟草工厂改建而成的艺术空间，其名称在巴斯克语中正是“烟草工厂”的意思。在这里，我们注意到观众在某种程度上感知到了画作中蕴含的数学，并渴望获得更深层次的解读：
对于塔巴卡莱拉的文化总监来说，昆茨作品对于观众视线的吸引有双重效应：“她的创作具有一种独特的张力：既引人深入细节，探索她精密而细致的创造，又允许观者在观看时保持某种距离——以辨识她所追寻的图式、秩序、韵律与能量。”[15]
最后，我们要提一下位于瑞士维伦洛斯的“艾玛·昆茨中心”——这是一个专为昆茨设立的机构，并持续更新展览。
以上叙述清楚地表明，艾玛·昆茨的作品如今广为人知，然而其中蕴含的数学却并非如此。令人惊讶的是，我们文中使用的几幅图都有一个中心焦点（central focal point）。这种焦点强化了图像的冥想性和辐射性。接下来，我们将从昆茨的通灵艺术转向其作品背后的数学。我们将探讨昆茨的三幅作品，均是由直线族的包络线构成。
寻找包络
包络在数学中频繁出现。例如，在线性代数中，包络可以被用于求解和分析一个矩阵的数值域，即包含该矩阵特征值的集合。（更多的相关内容见 [7]。其他相关的材料亦可见《数学通讯》（The Mathematical Intelligencer）期刊最近的一篇文章[5]。）包络这一概念也被视为基础内容，出现在柯朗的微积分教材中 [4, p.171]。正如卡尔曼（Dan Kalman）在《用包络线方法解梯子问题》[8]一文中写道：“这给了我们一个借口来重新讨论一个美妙主题：曲线族的包络。”卡尔曼这篇文章标题中的梯子问题，本质上是探究如何在转角移动一个梯子（见图4）。（注6：别把它和“沙发问题”搞混了[12]。）
梯子问题的解恰好就是柯朗书中四个包络线例子之一。如果这个梯子是单位长度的，则图像中这些梯子线族的包络（即与图4中所有梯子直线相切的曲线）可以表达为
因此这个包络是星形线的一部分。另外最近一篇清晰明了的文献是格雷戈里·奎内尔（Gregory Quenell）的文章[11]，其中包括对弦线艺术的探讨，以及多个包络线的实例，包括梯子问题——研究等长直线族的包络线。昆茨的画作则展现的是另一番艺术景象。
图4 梯子问题
数学上关于包络线的定义有很多种，但我们当前语境下，几何包络线的定义或许是最直观的：
需要指出的是，包络线有多种不同的定义方式，其中一些定义所涵盖的曲线范围更为宽泛。根据文献 [2]，我们接下来将介绍的包络线算法，同样定义了一种意义下的包络线[4]。柯朗将其称为“判别曲线”（Discriminant curve），因此我们称之为“判别包络线”（Discriminant envelope）。在本文例子中，判别包络线与几何包络线是相同的。我们将在后文图像中直观呈现这一点。在正式定义包络线算法之前，有必要先建立对其推导过程的直观理解。
络线与该直线族中的每条线在某一点相切。并且这条包络线上每一点都必须和直线族中某一条线相切。一般来说，一条曲线可以在不同的位置上和不止一条直线相切，但幸运的是，如果合适地限制定义域，并且利用图形的对称性，我们可以避免这种情况。因此在一个合适的区间上，我们可以选择光滑函数F,x,y，使得F(x(t),y(t),t)=0。
第二个有助于构建包络线算法的性质可能不是很明显。以下是一种理解方式：首先，限制
3. 结合前两步得出的方程，消去t得到包络线方程。
柯朗在[4, p.173]中写道，“在求得判别曲线之后，仍有必要对每个具体情形进行深入分析，以判断该曲线是否真正构成包络线，或在何种程度上偏离包络线的定义。” 在下文中，我们将构建自己的图像，并与昆茨的作品进行对比。毕竟，唯有亲见，方能相信。
随处可见的抛物线
借助包络线算法，我们可以十分自然地推导出艾玛·昆茨灵摆几何绘画中所蕴含的包络曲线。接下来，我们将具体探讨她的三幅作品。
作品No.13
观察图5，画面不仅关于原点对称，并且关于x轴和y轴对称。作为一幅视觉作品，色彩为整体构图注入了石墨线条所无法赋予的生命与活力。然而从数学角度，真正令人着迷的，正是那些石墨线条。
图5 昆茨的013号作品（图片由艾玛·昆茨基金会提供）
从图5可以观察到，石墨线条衍生出四条跨越不同象限、彼此相似的曲线。通过包络线算法，我们可以为每一条边界曲线推导出闭合表达式。仔细观察便会发现，昆茨并没有画完所有的线条——如果我们想象这幅作品代表一只眼睛，似乎在她勾勒出虹膜完整的周边区域时便戛然而止了（注7：我们将其视为眼睛这一解读得益于艾玛·昆茨中心的卡琳·凯吉（Karin Kägi）的提示）。因此，我们得到的曲线是下文所讨论曲线的子集。我们将阐述如何推导这些包络线的方程，并且概述应用包络线算法的一般过程。
首先，我们必须考虑关于绘画的一些假设。我们使用了博物馆提供的一件复制品，其中每条线均按照方格纸上间隔约两格（总计1厘米间距）沿着横纵轴线绘制而成。绘图本身被设定在一个边长为40个单位的正方形区域，并以坐标原点为中心。当然，昆茨绘制的线条数量有限，但这些线条却形成了看似连续光滑的曲线。为了应用包络线算法，我们让t在整个区间内取值。
在这幅作品中存在多组曲线，还有很多直线从中心向边界放射延伸，而这些直线仅相交于原点，所以根据前面包络线定义，该直线族不存在包络线。此外，在每个角还有对角线族，其连线勾勒出跨越图画中不同角落的弧形。这些直线族将成为包络线算法的研究对象，我们希望能够求出其数学表达式。
先考虑主要位于第一象限的直线族，我们观察到该族包含40条直线。这些直线的斜率逐渐变化，从水平线y=20到垂直线x=20。（假设原点位于中心，绘图的宽度为[-20,20]）该直线族一种可能的参数化可以定义为以下方程的(x,y)解集，
图6 线族叠画在第一象限
作品NO.009
图7展示了编号009的作品，其尺寸为101厘米×101厘米。在这幅作品中，我们采用与之前文类似的包络线算法，可以得到空白区域八条边界曲线的封闭形式解。接下来，我们将详细描述其中一条曲线。
图7 昆茨的009号作品（图片由艾玛·昆茨基金会提供）
在No.009号作品中，我们观察到存在八个矩形区域，其中在顶部和底部的第一个和最后一个矩形互为镜像对称，而中间的两个区块则包含着空白区域，其边界为简单的闭合椭圆形曲线。我们先考虑该椭圆形状四分之一的部分，其余部分可通过昆茨反复运用的对称变换生成。与之前类似的是，红蓝直线与矩形边界的交点大致是等距分布，但纵轴方向的间距是横轴间距的三倍。
探究图7与图5相似性的关键在于x轴与y轴对应数值是等距分布这一条件。我们稍后会解释这一点，但很明显的是，包络线算法与之前一样有效：尽管我们当前所参考的图像略显模糊，但经估算，每一半矩形的宽度约为 16 个单位，长度约为 48 个单位。
在算法中，我们放置原点使得矩形区域边界点为（-16，0），（16，0），（16，48），（-16，48）。由于我们只是缩放x轴和y轴，所以我们猜测包络线仍是一段抛物线弧，而事实正是如此！因此，尽管昆茨这两幅作品视觉上存在差异，但No.009作品（图7）其实包含了我们在她No.013作品中曾看到过的圆锥曲线的缩放与重复的版本。
假设这些垂直线之间的间距均匀，且每次间隔三个单位，那么其中一族直线（对应于图形右上角）可以由下列公式给出，
-t(y-48)=(48-3t)(x-16+t)
其中，参数t∈[0,16]。（译者注：这里直线族构造是类似的，考虑直线y=48与直线x=16上，并且在绘图宽度内平均分布的离散点，坐标为(16-t,48), (16,3t)，便可求得直线族的参数化。）
在这种情况下，我们可以得到，
将该曲线与艾玛·昆茨绘制的直线族对比，我们可以从图8中观察到，红色抛物线EI在第一象限确实形成了包络线结构。图中蓝色抛物线EII亦可通过相同方法推导出，其对应的直线族可以沿用之前的参数化方法。特别之处在于，这一看似椭圆的形状实际上并非真正的椭圆，这些闭合曲线由四条不同的抛物线弧段拼接而成。
作品No.130
分析图9可以看出，其x轴均匀的间距与直线上y=x上均匀间距不同，但图中依然包含抛物线弧。我们依据算法推导出直线方程，
以及第一象限中在x>y条件下抛物线的方程
图9 昆茨的130号作品（图片由艾玛·昆茨基金会提供）
对于本文我们描述的图像，其中的包络线均为抛物线。事实上，如果我们在一条直线上取等间距的点，并在另一条不平行（也不必垂直）的直线上取另一组等间距的点（两组点间距可不同），那么连接这些点所形成的直线族，其包络线是一条抛物线：
假设我们从任意两条不平行的直线出发，并在两条线上取若干等间距的点。不失一般性，我们假设其中一条直线位于x轴上。为了将另一条直线变换为与x轴垂直，同时保持等距分布，我们可以进行一次水平剪切变换，即严格将点沿着水平方向移动，并且移动量与对应
展开后可以验证其判别式仍为零。因此在变换后，抛物线仍为抛物线，所以变换前的包络曲线确实是一条抛物线。这一推导具有普遍性，说明按照昆茨在这些作品中所采用的线性构造方法生成的包络线一定是抛物线弧。
结语
在许多方面，艾玛·昆茨无疑超越了她所处的时代。她对于医学疗愈的见解，包括使用Aion A（一种矿物制剂）和植物性治疗药物，以及她的绘画作品，在如今可以说比她创作的时代更具现实意义：
尽管昆茨的工作方式可能显得有些神秘，并且与她所希望的相反，她的方式也未得到广泛实践，但她关于如何栖居于环境的建议——包括对于本土的珍视，对农业单一种植的质疑，以及她整体性的医疗方法，与当今医学、建筑、生态与气候科学的讨论不谋而合。[10]
同样，昆茨许多几何画作直到后来才被人重视，并最终赢得了广泛的观众。
正如本文展示，艾玛·昆茨的艺术作品也自然地引发了很多数学研究。尽管几乎可以肯定她不了解所谓的包络线算法，但她的众多作品却可通过这一算法进行分析。当我们通过数学视角观察她的作品时，我们不仅可以更进一步地理解昆茨的具有远见的创作，同时也可以更好理解包络线算法。
参考文献
[1] Karin Althaus and Sebastian Schneider. World receivers. Available at https:// www. lenbachhaus.de/en/program/exhibitions/details/ world-receivers, 2018. Accessed July 26, 2024.
[2] Kelly Bickel, Pamela Gorkin, and Trung Tran. Applications of envelopes. Complex Analysis and Its Synergies 6:1 (January 2020), Paper No. 2, 14.
[3] Casey Cep. Why did so many Victorians try to speak with the dead? New Yorker, May 31, 2021. Available at https://www.newyorker.com/magazine/2021/05/31/why-did-so-many-victorians-try-to-speak-with-the-dead, 2021. Accessed June 16, 2024.
[4] R. Courant. Differential and Integral Calculus, volume 2. Wiley Classics Library, 2011.
[5] Dmitry Fuchs et al. Differential geometry of space curves: forgotten chapters. Math. Intelligencer 46.1 (2024), 9-21.
[6] Natalia Grabowska and Melissa Blanchflower. Emma Kunz. Visionary Drawings. Serpentine Gallery. Available at https://www.serpentinegalleries.org/whats-on/emmak unz-visionary-drawings-exhibition-conceived-christodoulos-panayiotou/, 2019. Accessed November 11, 2024.
[7] Karl E. Gustafson and Duggirala K. M. Rao. Numerical Range, Universitext. Springer, 1997.
[8] Dan Kalman. Solving the ladder problem on the back of an envelope. Math. Mag. 80:3 (2007), 163-182.
[9] Anton C. Meier. Emma Kunz 1892-1963. Emma Kunz Zentrum, 2004.
[10] Hans Ulrich Obrist and Melissa Blanchflower, curators, MuzeumSusch. Emma Kunz, Visionary Drawings. Available at https://www.muzeumsusch.ch/en/1159/Emma-Kunz-Visionare-Zeichnungen, 2021. Accessed June 15, 2024.
[11] Gregory Quenell. Envelopes and string art. Math. Mag. 82:3 (2009), 174-185.
[12] Dan Romik. The moving sofa problem. Numberphile. Available at https://www.youtube.com/watch?v=rXfKWIZQIo4, 2016. Accessed July 4, 2024.
[13] Peter Schjeldahl. Harald Szeemann's revolutionary curating. Available at https://www.newyorker.com/magazine/2019/07/22/harald-szeemanns-revolutionary-curating, 2019. Accessed August 4, 2024.
[14] Zachary Small. After the sudden heralding of Hilma af Klint, questions and court fights. Available at https://www.nytimes.com/2023/08/28/arts/design/hilma-af-klint-legacy.html, 2023. Accessed August 4, 2024.
[15] Victoria Zárate. Emma Kunz: the artist and healer who may have predicted the atomic bomb. El Pais. Available at https://english.elpais.com/culture/2022-03-02/emma-kunz-the-artist-and-healer-who-may-have-predicted-the-atomicbomb.html, 2022. Accessed June 14, 2024.
本文基于知识共享许可协议（CC BY-NC）译自Dhar, S., Gorkin, P. & Jeffrey, S. The Mathematics Behind a Visionary Artist: The Envelopes of Emma Kunz. Math Intelligencer (2025). https://doi.org/10.1007/s00283-024-10402-w
特 别 提 示
来源：返朴一点号