摘要：设 ( n ) 为正整数，( a_1, a_2, ldots, a_n ) 为互不相同的正整数。证明：存在一个 ( n ) 次多项式 ( P(x) ) 满足：

第1题（代数）

设 ( n ) 为正整数，( a_1, a_2, ldots, a_n ) 为互不相同的正整数。证明：存在一个 ( n ) 次多项式 ( P(x) ) 满足：

1. ( P(x) = prod_{k=1}^n (x - a_k) )；

2. ( P(x) ) 的系数均为整数；

3. 对任意整数 ( m )，若 ( P(m) ) 不被 ( n! ) 整除，则 ( m = a_k ) 对某个 ( k ) 成立。

第2题（几何）

在锐角三角形 ( ABC ) 中，( M ) 是边 ( BC ) 的中点，( P ) 是三角形 ( AMB ) 内一点，( Q ) 是三角形 ( AMC ) 内一点，且满足 ( angle PAB = angle QAC )，( angle PBA = angle QCA )。证明：( AP + AQ leq AB + AC )。

第3题（代数/数列）

设 ( s_1, s_2, ldots ) 是严格递增的正整数数列，且其子列 ( s_{s_1}, s_{s_2}, ldots ) 是等差数列。证明：原数列 ( s_n ) 也是等差数列。

第4题（组合）

在一条直线上有 ( n ) 个点，每个点被染成红色或蓝色。求最小的 ( k )（用 ( n ) 表示），使得无论如何染色，总存在 ( k ) 个连续的同色点。

第5题（数论）

求所有函数 ( f: mathbb{N} to mathbb{N} )，满足对所有正整数 ( m, n )，有

[ f(mf(n)) = n^2 f(m)。 ]

第6题（几何/组合，压轴题）

设 ( A_1A_2A_3A_4 ) 是圆内接四边形，( G_1, G_2, G_3, G_4 ) 分别是 ( triangle A_2A_3A_4 )、( \triangle A_1A_3A_4 )、( triangle A_1A_2A_4 )、( triangle A_1A_2A_3 ) 的重心。证明：( G_1, G_2, G_3, G_4 ) 共圆当且仅当 ( A_1A_2A_3A_4 ) 是矩形。

来源：博超教育