七下数学期末压轴题详解之坐标系变换类题型

摘要：新定义题型是七年级数学压轴题的常客，我把它看作数学阅读理解题目，涉及面比较广，考察孩子们对于新定义，新概念的理解转化能力，其实就是把抽象文字翻译成数学语言等能力，因为只有翻译成数学式子，才能进行运算。

新定义题型是七年级数学压轴题的常客，我把它看作数学阅读理解题目，涉及面比较广，考察孩子们对于新定义，新概念的理解转化能力，其实就是把抽象文字翻译成数学语言等能力，因为只有翻译成数学式子，才能进行运算。

七下版本截然不同，像人教版等已经学习了平面直角坐标系，相应的七下新定义类压轴题就出现新的一种形式，坐标变换类的新定义题型。往往可以比较综合考察，比如结合坐标系，不等式，方程组，几何等考点。

比如上面是去年北京某区七下期末卷压轴题，这类题目典型的是进行坐标变换，往往有3个小问，难度较大，有很高的挑战性，很多孩子一看到题目这么长，就有点本能头疼，其实大部分是可以做出第一小问的，那么说明大部分学生是明白题目的意思，今天王老师通过这道题目，带大家来思考下这种坐标变换类题型如何应对。

1，翻译，式子表示一切

新定义题型有个很大的特点就是用大段文字描述变换过程或定义，这就要求孩子们首先要把文字严谨的翻译成数学表达式，这也是对初中代数思维的考察，式子表示一切。这里需要进行小的分类讨论和去绝对值，其实大部分孩子边读题，边严谨对应写出表达式即可。

P → P1 →P'

用式子表示变换的过程，那么第一小问就可以搞定了，无非是严谨的代入，有理数计算。不知道的一定要设未知数，还是式子表示一切，因为只有你写出式子，才能运算解决问题，这是我们的工具，一定要逐步适应。

2，具象化+全面分类讨论

坐标系变换往往和几何结合起来，新定义前半部分还是比较容易理解，后半部分就抽象很多，比较绕。

若图形W上存在一点Q，且点Q的“[m,n]倍对应点”Q′恰好也在图形W上，则称图形W为“[m,n]倍对应图形”

这里引出了倍对应图形的定义，其实是为第二小问做准备的，要结合问题中的图形描述努力让定义具象化。这时候需要上坐标系了，首先第二问中的图形W是由点D和线段AB组成的图形，必然要画出线段AB，因为点D位置未知，所以要全面分类讨论。这时要努力结合具象化空间想象枚举所有的情况。翻译下来可能更好理解。

由点D和线段AB组成的图形W上有一点经过倍对应点变换后，恰好落在由点D和线段AB组成的图形W上。

那么分几种情况呢？

可以从这个点的位置出发进行分类讨论，比如这个点要么是点D，要么是线段AB上一点。变换后要么落在点D上，要么落在线段AB上，那么分类逻辑就清晰了。

分类讨论思想是七年级考察重点，核心是未知，未知才需讨论。这个小学阶段确实渗透的不好，很多孩子还是有点不适应，所以提醒小学家长，小学阶段应该多导入一些分类讨论题型。

第二问具象化要求还不是很高，主要体现在配合分类讨论。

3，具象化+动态分析

那么第三问就是要求具象化比较高，取值范围往往又结合动态考察，难度进一步提升。

就像第二问一样，坐标变换是每一步基础。先进行坐标变换，然后找突破口，那么首先M'点的范围就可以具象化是一条不含端点的且在第一三象限角平分线上的射线。具象化可以先代入数值，比如长方形EFGH，由于t未知，但纵坐标是定制，横坐标是有关联的，可以代入一个数值先看看长什么样子，然后思考t变化，对应长方形EFGH怎么动态变化的。