摘要：在九年级上半年的期末复习阶段，大家不仅要熟练掌握基础知识内容（包括定理、定义等），还要让自己尝试着去解决一些具有一定综合性的解答题。一方面，大家能够在“灵活运用”之中加深对知识内容的理解；另一方面，大家也可适当开发自己的解题思维，增加解题经验技巧。

在九年级上半年的期末复习阶段，大家不仅要熟练掌握基础知识内容（包括定理、定义等），还要让自己尝试着去解决一些具有一定综合性的解答题。一方面，大家能够在“灵活运用”之中加深对知识内容的理解；另一方面，大家也可适当开发自己的解题思维，增加解题经验技巧。

圆与相似结合几何综合题

下面这道题，具有一定的综合运用性，“能否巧妙地做辅助线”则是能否顺利解题的关键。

第一部分比较容易，但大家更要注意把握技巧。这一部分在问“弦AN对应的劣弧长度”。这里，大家可发现一种巧合——弦AN的长度为3，与圆O的半径正好一致。当圆中的某条弦与圆的半径一致时，该条弦所对应的圆心角必然是60度，因为在下面的图中，做辅助线后可知，弦AN与两条半径正好围成一个等边三角形，所以弦AN对应的圆心角度数为60度，这点建议大家在作业、考试中直接当做二级结论来使用。

那么，既然劣弧AN对应的圆心角度数为60度，那么，该条劣弧的长度则为圆周长的1/6。由于圆的半径为3，那么，圆的周长则为2π×3=6π，因此，劣弧AN的长度则为6π×（1/6）=π

第二部分，大家不仅要懂得“做辅助线”，还要懂得从表面现象观察出本质。

该部分的第一问求B到OA的距离，这时大家可直接过B点向OA引出一条垂线，垂足为H点。对于题中的弦MN，大家也可作“过圆心O垂直于MN的垂线”，垂足为E。提前做好这两条辅助线，后面的步骤中总会用到。

在第二部分，OA平行于MN，既然这两条线段互相平行，那么，B到OA的距离，便可等效成“O到MN的距离”。根据垂径定理，在直角三角形OEN中，EN长度为“根号5”，由于ON长度为半径3，那么根据勾股定理可计算出，直角边OE长度为2，因此，B点到OA的距离也为2。

至于此时x的值，则为线段BN的长度，根据在上图中作出的辅助线，大家可把BN长度拆分为BE、EN两条线段的长度分别计算。

在第三部分的第一问，大家要把握“过A的切线与AC边垂直”这个条件。根据“切线定理”，圆的直径与切线垂直，那么，能够与圆的切线相垂直的线，则“一定在圆的直径上”。根据题意，既然过A点的切线与AC垂直，那么由此可判断出，AC一定在圆O的直径上（如下图所示），大家要把此时这种“特殊关系”画在草稿纸上；这时求O到BC距离，这时大家仍可继续做辅助线OJ垂直于BC于J点。

这时，大家便能够构造出两个直角三角形ABC与OJC，由于两者有一个共同角C，那么，两个直角三角形相似。这时，根据“相似关系”，大家可列出相似等式

AB/AC=OJ/OC

在第三部分的第二问，要求大家直接写出O点到BC的距离“最小值”，这里当然离不开“做辅助线”，但是，大家一定要按照下图的章法，在直角三角ABC中做辅助线，且无论何时也不要思路混乱。根据下图所示，辅助线做法为——连接OB，取OB中点为T，连接AT。O到BC的距离仍为线段OJ的长度。

思路到这里，大家便可根据已作出的辅助线，进一步梳理一下数量关系。由于AB=AO=3，且T为OB中点，那么AT垂直于OB，这样可构造出直角三角形ATB。在这里，还有一个直角三角形OBJ，那么，由于角ABT与角OBJ互余，角OBJ与角BOJ互余，那么角ABT与角BOJ相等，由此可进一步得出，直角三角形ABT与直角三角形BOJ相似。

根据这层相似关系，大家可列出等式AB/BT=BO/OJ，

那么OJ可表达为

在这个表达式中BO长度也可写成2BT。那么，经进一步整理，OJ长度也可整理成

当大家计算到这步，则不难观察出，线段OJ的长度与线段BT的长度“直接相关”。因此，当BT取最小值时，此时OJ的长度也是最小值。根据上面的计算步骤可知，当OB垂直于MN时，OB有最小值2，此时BT为最小值1。

如下为此题的标准答案，大家可参考一下。

来源：锐翔教育