摘要：1926年初，埃尔温·薛定谔发表了一系列论文，这些论文在当时彻底改变了物理学。在过去的三十年里，人们越来越清楚地认识到，现有的物理学方法在微观尺度上根本不起作用。薛定谔论文的核心方程实际上取代了牛顿第二定律在原子尺度上的作用，能够极其精确地描述电子等粒子的行为
1926年初，埃尔温·薛定谔发表了一系列论文，这些论文在当时彻底改变了物理学。在过去的三十年里，人们越来越清楚地认识到，现有的物理学方法在微观尺度上根本不起作用。薛定谔论文的核心方程实际上取代了牛顿第二定律在原子尺度上的作用，能够极其精确地描述电子等粒子的行为。
热方程
波动方程
薛定谔方程
薛定谔方程与经典物理学中的热方程和波动方程非常相似，但有一个例外，那就是虚数 i。这个 i 是在做什么？
薛定谔的方程至关重要且颇具争议地用波的概念取代了粒子的概念，并提出在空间中的某一点上，这种物质波的值随着时间变化，与波在空间中的曲率成正比。这种比例关系在热方程中很有意义，例如，在从冷到热再到冷快速变化的区域，热区会随着热量的扩散而逐渐冷却。但在薛定谔方程中，时间导数乘以虚数i。为什么乘以i会将热方程变成对物质本身极其准确的描述？虚数后来成为量子物理学的核心，并在这一最基本且成功的自然理论中发挥了重要作用。
1925年，爱因斯坦发表了一篇论文，引用了一位鲜为人知的法国人路易·德布罗意的博士论文。在这篇论文中，德布罗意将爱因斯坦和普朗克在1905年所揭示的光量子（光子）理论扩展到物质波。他证明，如果将物质视为波而不是离散粒子，并将普朗克-爱因斯坦关系扩展到这些物质波上，就可以精确预测氢原子的行为。
当爱因斯坦的论文传到物理学家埃尔温·薛定谔手中时，他很快意识到，德布罗意的工作是对他自己在规范理论研究中所涉领域的更优雅和普遍的版本。薛定谔对物质实际上可能是波这一想法产生了极大的兴趣。1925年11月，薛定谔在其苏黎世的母校发表了关于德布罗意物质波的讲座后，他的同事彼得·德拜评论说：“如果物质波是真实的，那么必然会有一个描述物质波的方程。”这一评论深深印在薛定谔的脑海里。
几周后，薛定谔带着论文和书籍前往瑞士阿尔卑斯山度假，并在山间的房间里开始研究这一问题。他从经典波动方程入手，试图对其进行修改，使其与德布罗意的物质波结果相兼容。经典波动方程中，
函数y是位置和时间的函数，表示波的位移，例如振动弦上的某点相对于静止位置的上下偏移，v是波的传播速度。
薛定谔的方法是将空间和时间部分分离，分别得到两个新的微分方程：一个仅依赖于位置，另一个仅依赖于时间。
位置方程表明波的曲率应与波的负位移成正比，这在振动弦的例子中非常合理——正位移大的点通常对应负曲率大的点，反之亦然。从数学上看，位置方程表明应该存在一个关于x的函数，当对其进行两次微分时，结果等于它自身乘以某个负常数。正弦函数和余弦函数都具有这种性质，正好满足我们的微分方程。
对薛定谔来说，重要的是当我们将弦的两端固定在x=0和 x=L（弦的长度）时，只有非常特定的k 值可以满足条件。
直观地看，这意味着我们可以在弦的固定两端之间拟合半个正弦波、一个完整的正弦波、一个半正弦波加一个正弦波……以此类推，但不能有介于这些之间的波形。
这种行为导致振动弦产生非常纯净的音调，振动频率是基频的简单整数倍。
这种行为对于薛定谔的研究至关重要。与振动弦类似，氢原子只在非常特定的频率下产生能量。然而，对于氢原子，这些频率并不像振动弦那样均匀间隔。薛定谔的希望是，如果他使用德布罗意的物质波方法修改经典波动方程，那么他的新波动方程的解将与氢原子的观测发射光谱相匹配。
首先，薛定谔将代表物质波的函数换成希腊字母 ψ，并将波数k重新写成波长的形式。
他随后代入德布罗意的公式，该公式将物质波的波长与其动量（质量乘以速度）联系起来。
经典波动方程中的常数项现在依赖于物质波的质量平方乘以速度平方。在经典物理学中，动能等于
因此可以将分子改写为
最后，薛定谔将总能量E表示为动能加势能 V，并解出动能，将其代入方程
氢原子包含一个质子和一个电子。薛定谔假设质子是固定的，为电子创造了一个电势，电势的表达式为电子电荷e 除以电子与质子之间的距离 r
由于原子是三维的，因此需要将空间导数扩展到 x、y、z 三个维度
从这里开始，薛定谔需要找到他的物质波方程的解。正如我们之前在振动弦问题中发现的那样，只有特定的k值可以成为解。薛定谔通过参考数学书籍，并在数学家赫尔曼·外尔的帮助下，解决了氢原子的波动方程。他证明，方程中的能量项E也是量子化的，而且这些能量值的间隔与氢原子的观测发射光谱大致一致。这一发现使得薛定谔得以在1926年1月27日提交他的论文，随后在科学界引起了迅速而积极的反响。
薛定谔的成果被物理学家奥本海默评价为“或许是人类发现的最完美、最准确、最优美的理论之一”。物理学家保罗·狄拉克也指出：“薛定谔的成果包含了大部分物理学，并原则上涵盖了所有化学。”化学课中常提到的轨道电子分布图正是薛定谔方程的解。
直到这个时候，薛定谔的数学方法还没有涉及虚数。这一切在1926年夏天发生了变化，当时他扩展了自己的方法以包括随时间变化的系统。他的这一扩展需要解决更复杂的动态系统问题，从而引入了虚数。”
在薛定谔最初的研究中，他从经典波动方程的空间部分开始。为了完全解决振动弦问题，我们需要将空间解 f 与时间解 g 相乘，从而计算弦上每个点的最终位置 y，作为位置和时间的函数,
在经典波动方程中，空间和时间部分满足相同的微分方程，只是常数不同，
因此时间解也是正弦和余弦波，
物理学家，包括薛定谔在内，常用的一种数学技巧是使用复指数表示这些解。例如，我们可以用
表示余弦
对复指数进行微分非常简单，只需将指数项前移即可
二阶导数为
这表明
是微分方程的一个有效解。
重要的是，在此之前，尽管复数在计算中经常被使用，最终答案通常只取其实部。物理问题中的所有实物量（如弦的位移）都对应复指数的实部。然而，为了将他的方程扩展到时间领域，薛定谔从复指数表示的波函数出发，假设在计算完成后可以取其实部。
由于物质波的能量与其频率成正比（由普朗克-爱因斯坦关系给出），我们可以将复指数重新写成与波总能量 E 相关的形式，
通过微分可以得出波的能量乘以波函数与波函数的一阶导数成比例，且比例常数为 i
将这一结果代入薛定谔的时间无关方程中，得到了现代版本的薛定谔方程，
薛定谔很早就发现了这条路径，但他对虚数的使用感到犹豫。他曾写信给物理学家亨德里克·洛伦兹说：“这里令人不悦、甚至直接令人反对的是使用复数。波函数 ψ 应该是一个实函数。”然而，薛定谔方程中时间导数旁边明确出现的 i 表明纯实数波函数无法成立。波函数本身必须由复数组成。
事实证明，波函数的复数形式和时间导数乘以 i 并不是缺陷，而是特性。它使薛定谔方程能够优雅地描述物质的行为。让我们考虑薛定谔方程如何应用于一维自由粒子，例如远离任何其他粒子的电子，
在这种情况下，势能V 为零。我们暂时将所有常数合并为一个单一的常数，称为c，并设其值为0.1，
假设一个非常简单的波函数初始状态，中心值为1，其周围值为0。
我们可以通过数值方法估算波函数在中心位置的二阶空间导数，方法是将相邻波函数值相加，然后减去中心位置波函数值的两倍，
因此，计算结果为−2。
可以通过表格记录薛定谔方程的每一部分随时间的变化。
经过几步后，一个清晰的趋势开始显现：波函数的空间导数推动其在复平面上沿弯曲或圆形路径移动。
在经典波动方程中，空间曲率推动波随时间上下振荡，而在薛定谔方程中，波的空间曲率推动复波函数在复平面上绕圆形轨迹运动，
我们可以通过考虑薛定谔方程的一个简单解，即平面波，来更广泛地理解这种行为在空间和时间上的表现，这种波函数是一个关于位置和时间的复指数函数。直观上，这种平面波看起来像一个实部为余弦、虚部为正弦的波，随着时间的推移向右传播，可以将一维空间中的每一点视为一个小的复平面。波的实部余弦部分在复平面上左右移动，而虚部正弦部分上下移动。这两个分量结合在一起，形成一个绕单位圆运动的复数，随着时间推移不断旋转，
通过数值方法看到，平面波相对于位置的二阶导数为-k^2 乘以原始平面波。这与数值分析结果一致：空间导数的结果与波函数值在复平面上的位置相对原点的方向相反，其大小取决于平面波的空间频率 k。薛定谔方程告诉我们将这个值乘以 i，得到波函数的时间变化率，这会将空间导数在复平面上逆时针旋转90度。这种旋转推动波函数在复平面上沿圆形路径运动。
更高的空间频率k意味着平面波在空间中振荡得更快，从而增加了波函数的曲率和二阶导数的大小。根据薛定谔方程，较大的空间曲率会导致波函数在复平面上更快地旋转。
将完整的平面波代入薛定谔方程，我们可以证明平面波是薛定谔方程的一个解，并恢复空间频率 k与时间频率 ω之间的精确关系，
这正是薛定谔从德布罗意物质波关系中得出的关系。因此，平面波在复平面上表现为一系列螺旋轨迹，而薛定谔方程将这些螺旋在空间和时间中的行为联系了起来。
现在，我们需要思考这些具有复数值的物质波是否合理地描述了像电子这样的物理粒子。除了包含虚数 i 外，薛定谔方程的另一个重要特性是波函数及其导数没有被提升到任何幂次。这使得薛定谔方程是线性的。这意味着，如果有两个波函数，记为 ψ_1 和 ψ_2，它们的线性组合ψ_1+ψ_2也是薛定谔方程的一个有效解。
这种线性特性意味着薛定谔方程适用于任何平面波的组合。例如，如果有一个相同的螺旋波函数，但在空间上相对于原始波函数平移了半个波长，那么这两个波函数的叠加将完全相互抵消，导致整体波函数在任何位置的值都为零。
波函数能够像这样相互干涉的能力对于物质的波动特性至关重要。这种特性在诸如双缝实验中得到了验证。
在双缝实验中，如果向一个狭缝发射一束电子，然后通过探测器观察其分布，结果显示电子的分布是平滑的，最可能落点在狭缝正后方，随着距离狭缝的增大，概率逐渐降低。
然而，当打开第二个狭缝时，如果电子仅仅是粒子，我们会期望两个狭缝的分布叠加，从而得到一个整体的探测模式，看起来与单个狭缝的模式类似。然而，实验中观察到的结果却并非如此。
1927年，戴维森首次通过电子验证了这种现象。实验显示，我们看到了一种波动的图案，某些位置几乎没有电子到达。这种行为可以通过薛定谔的物质波理论来理解。
我们可以将电子表示为一个小波包。
这种波包也是薛定谔方程的一个有效解。接下来，从一维空间转到二维空间。在二维中，每个空间点对应一个复平面可能会变得更加困难，因此我们切换到另一种方式，将复波函数的幅度表示为表面的高度，用颜色表示复数的角度。
当关闭其中一个狭缝时，物质波通过单个狭缝传播，扩散均匀。再次运行实验，关闭另一个狭缝，观察到的结果类似。然而，当我们将两个狭缝都打开时，物质波在空间中形成干涉。
注意，波函数的幅度是平滑的曲线，这符合粒子行为的预期。然而，构成波函数的复数的角度在探测器表面上变化，而两个实验中这些角度并不总是一致。这意味着物质波在某些位置上会失去相位。
当两个狭缝打开时，这些位置上会发生破坏性干涉。在实验中，这正是我们所看到的：电子的物质波在这些位置上相互抵消，与实验结果完全一致。
因此，波函数中复数的角度（也被称为相位）储存了关于电子物质波的重要信息。这种相位导致波在某些空间位置上与自身或其他波发生破坏性干涉，从而符合实验观测。
几天后，在薛定谔提交他那一系列突破性论文中的最后一篇之后，物理学家马克斯·玻恩提交了一篇论文，其中包含了我们今天称为“玻恩规则”的内容。根据玻恩规则（尽管有一些限定条件），波函数幅度的平方等于粒子在空间某位置被找到的概率。
根据玻恩规则，波函数的幅度告诉我们粒子最有可能出现在空间中的哪个位置，而波函数的复数角度（相位）则描述了物质波如何与自身及其他物质波发生干涉。
虽然可以通过其他数学方法实现这种行为，但复数在这里非常方便。令人感兴趣的是，当薛定谔将经典波动方程与德布罗意的物质波关系结合时，虚数自然而然地融入其中，成为理论的一部分。
如果将二维波包放入一个盒子中，薛定谔方程中的势能项会导致波包在盒子边界处反射，并与自身发生干涉，形成一组离散的固定波动模式。这种行为与薛定谔方程在三维空间中应用于氢原子时发现的量子化能级非常相似。
令人惊叹的是，同一个复值波函数不仅可以描述自由电子在双缝实验中的行为，还可以解释被束缚的电子在原子中的量子化能级。这种统一性表明，薛定谔方程不仅具有理论上的优雅，还在实验中得到了验证。
多年后，在1970年的一次讲座中，伟大的量子物理学家保罗·狄拉克这样描述波函数：“如果有人问我量子力学的主要特征是什么，我现在倾向于说是概率振幅的存在，它支撑了所有的原子过程。概率振幅与实验有关，但只是一部分。振幅的平方是我们可以观测到的东西，即实验人员所得到的概率。但除此之外，还存在一个相位，这个相位的模为1，可以在不影响振幅平方的情况下进行修改。这个相位非常重要，因为它是所有干涉现象的来源，但它的物理意义仍不清楚。”
所以，你可以说，海森堡和薛定谔的真正天才之处在于发现了包含这种相位量的概率振幅的存在，而这种相位量在自然界中被深深地隐藏了起来。正因为它隐藏得如此之深，人们才没有更早地想到量子力学。狄拉克在这里提到的“相位”是构成波函数的复数的角度。虚数和复数为我们提供了一种优雅的工具，用来表示和处理这种相位，而这种相位是我们理解微观尺度上物质如何运作的重要组成部分。
量子力学的兴起成为虚数发展史上令人惊叹的一章。物理学家弗里曼·戴森写道：“虚数在波动力学中的出现是自然界最深奥的笑话之一。”薛定谔方程中的虚数表明自然界使用的是复数而不是实数。
关于复数在这里的必要性，仍然存在一些争论。薛定谔本人似乎从未完全接受一个真正复值的波函数，尽管他后来在自己的工作和交流中继续使用它。然而，让人敬畏的是，这些曾经被我们长时间视为“不可能”或“虚构”的数字，最终却在我们对自然界最深刻和最准确的理论中扮演了如此重要的角色。
来源：老胡科学一点号