摘要：麦克斯韦用了十多年的时间，通过多篇论文，最终将这些方程整理成如今的形式。当时的主要难题在于，法拉第提出的“场”的概念非常难以理解，因为“场”这种东西本质上是看不见摸不着的。如今，我们已经习惯于将电场和磁场视为基本概念，认为它们是无法再简化的。

麦克斯韦用了十多年的时间，通过多篇论文，最终将这些方程整理成如今的形式。当时的主要难题在于，法拉第提出的“场”的概念非常难以理解，因为“场”这种东西本质上是看不见摸不着的。如今，我们已经习惯于将电场和磁场视为基本概念，认为它们是无法再简化的。

然而，对于当时的科学家来说，这一点并不显而易见。正因如此，麦克斯韦不得不借助类比和机械模型来阐释。从今天的角度看，这些模型可能显得很离奇甚至有些荒诞。但麦克斯韦却非常严肃地对待这些方法。为了真正理解他的研究成果，我们必须回到那个时代，了解麦克斯韦对电磁学在科学中地位的独特见解。

电磁辐射毫无疑问是麦克斯韦最重要的贡献。而电磁学的研究最早可以追溯到法国工程师兼物理学家库仑，他通过实验发现了两个静止带电粒子之间的作用力遵循平方反比定律。

这种力是静态的，因为电荷并未移动。后来，加尔瓦尼通过实验发现，将两种不同的金属插入青蛙的腿中，可以让青蛙的腿产生抽动的现象。令人惊讶的是，这一发现揭开了电流存在的奥秘。伏特进一步推测，这种现象一定与不同金属的特性有关，于是他开始研究，并成功发明了早期的电池模型。通过这项工作，他首次找到了能够稳定产生电流的可控电源。

直到那时，电和磁仍被认为是不同的现象。1820年，这一认知发生了改变，当时汉斯·克里斯蒂安·奥斯特发现，指南针的针在靠近通电导线时会移动。因此，他证明了电流总是会产生磁场。很快，多个实验接踵而至，电与磁的密切关系被广泛接受。然而，这种关系缺乏一个合理的解释。最有说服力的解释由法国物理学家安培提出，麦克斯韦称他为“电学的牛顿”。这一称号十分贴切，因为在安培和牛顿的理论中，一个物体的运动可以在没有直接接触的情况下受到另一个物体的影响。

然而，法拉第的观点完全不同。他认为电磁相互作用是通过场来实现的，而不是通过远距离的直接作用。这些场存在于磁体和电流周围的空间中，起到了一种媒介的作用。然而，当时的大多数科学家，尤其是英国以外的科学家，并未意识到这一观点的重要性，主要原因在于法拉第缺乏数学上的支持。相比之下，安培的研究在数学上非常严谨，更容易被接受。因此，法拉第的追随者，特别是开尔文和麦克斯韦，承担起了将这种基于场的理论方法进行数学形式化的任务。

麦克斯韦在完成这项工作时，充分发挥了他在爱丁堡和剑桥求学期间培养的技能、洞察力和科学态度。那个时代，电和磁的研究涵盖四个必须纳入完整理论的基本领域：

麦克斯韦在开始数学推导之前，选择先深入理解法拉第的研究和直觉。这一选择事实证明非常明智。法拉第的研究启发了麦克斯韦，从散度（Divegence）和旋度（Curl）的角度去思考电和磁的现象，就像观察水流的运动一样。

在深入了解麦克斯韦如何推导这些方程之前，我们需要先掌握两个稍显专业的术语：散度和旋度。散度用来描述在某一点，流体是如何从该点向外扩散或向内聚集的。

在图示中，可以看到一个水从中散开的源头，这个点的散度为正；而水汇聚的地方称为汇，这里的散度为负。在其他既没有扩散也没有聚集的地方，散度为零。散度可以同时存在多个源头和汇，广泛应用于流体力学、电磁学和矢量微积分领域。

旋度，顾名思义，是衡量流体在某一点的旋转或扭曲程度的。例如，在流动的河流中放入一根小树枝，如果树枝开始原地旋转，那么该点有旋度。在顺时针旋转的区域，旋度为正；而在逆时针旋转的区域，旋度为负。

麦克斯韦在电磁学领域的第一篇论文是《论法拉第的力线》，于1855年发表。麦克斯韦提出，电场和磁场可以被看作是不可压缩的流体。所谓不可压缩，是指流体无法被压缩到更小的体积。不可压缩流体的一个关键特性是它的散度为零。这让麦克斯韦能够立即写出描述磁场行为的数学表达式，即磁场的散度为零。

这就是第一条麦克斯韦方程。它的解释是，与电场不同，磁场没有可以作为源头或汇的正磁荷或负磁荷，磁极总是成对出现。

而电场有正负电荷可以作为源头或汇，因此电场的散度等于电荷密度。

在流体类比中，正电荷区域对应于电场的源，而负电荷区域对应于汇。这两条方程也被称为高斯定律，分别适用于电场和磁场，尽管最初是由拉普拉斯提出的。高斯定律可以用来推导库仑定律，反之亦然。

然而，流体类比的主要局限在于它无法解释电场、磁场和电流之间的相互作用。麦克斯韦的前两条方程只描述了静态电荷。他花了五年时间，在另一位伟大的科学家开尔文勋爵的启发下，才发展出关于运动电荷的理论。开尔文和麦克斯韦一同努力，为法拉第的场概念提供数学框架。开尔文是分子旋涡理论的提出者，他假设原子是存在于充满以太的空间中的旋涡。开尔文认为，这些旋涡的旋转可以用来作为磁场的模型。

需要指出的是，这一旋涡理论可能是最早的原子结构理论。开尔文认为，不同种类的旋涡中心的结扣可以对应不同的化学元素。麦克斯韦的朋友彼得·泰特甚至对这些结扣进行了分类，最多包括10个交叉点，从而催生了现代数学中的结理论。

然而，随着更多元素被发现，人们逐渐认识到任何理性的结扣分类都无法解释化学元素，这一理论也被逐步放弃。

尽管如此，麦克斯韦对开尔文的方法表现出极大的兴趣。

他提出了一种模型，设想整个空间都充满了旋涡管。这些旋涡管代表磁场，其旋转速度越快，磁场就越强。然而，这些旋转的旋涡管会因摩擦而逐渐损耗能量。为了解决这一问题，麦克斯韦提出了一个实际的方案：在旋涡管之间加入滚珠轴承，并将这些滚珠视为电粒子。在导体中，这些滚珠可以自由移动，从而形成电流；而在绝缘体中，它们则被固定在原位。

1861年，他发表了一篇名为《论物理力线》的论文，提出了包含这些机械模型的理论。

在这篇论文中，他使用六边形来表示旋涡，滚珠则是承载电流的粒子。令人惊叹的是，这一模型可以解释当时已知的所有电磁现象。

在他的图示中，旋涡速度的变化对应于磁场强度的变化。这种变化会导致滚珠因相邻旋涡速度的变化而旋转。由于旋转对应于旋度，他得出了第三条麦克斯韦方程：电场的旋度等于磁场的变化，

接下来是最后一条方程的推导。让我们考虑麦克斯韦的机械模型。

在中心有一条电流，电流迫使旋涡以环形结构围绕导线旋转。磁场线正确地形成环绕电流的闭合回路，这为我们提供了如下关系：磁场的旋度与电场的变化成正比，

那么，为什么是成正比而不是相等呢？

麦克斯韦通过这些机械模型意识到，该方程需要一个修正项，即位移电流。这给出了最终的麦克斯韦方程：磁场的旋度等于电场的变化加上位移电流，

这些分子旋涡被建模为弹性物体，因此可以计算出扰动传播的速度。通过简单的计算，麦克斯韦惊讶地发现，这个速度等于光速。在这一过程中，电学、磁学和光学被统一起来。

尽管这些机械模型给了麦克斯韦很大的启发，但随着时间推移，他对这些模型逐渐失去了信心。最终，在1865年，34岁的麦克斯韦发表了一篇具有里程碑意义的论文《电磁场的动力学理论》。

在这篇论文中，他完全放弃了具体的分子旋涡模型，而是以更加抽象的形式构建了整个理论，不再依赖任何特殊的假设。科学史学家惠特克对此评价道：“在这篇论文中，整个理论体系的架构得以展现，彻底摆脱了最初搭建时所依赖的脚手架。”

在这篇论文中，方程以最终形式出现，

与建立这些方程的手段完全独立。这一理论最终形成了一种电磁场的动力学理论。虽然仍带有机械理论的性质，但它变得更加抽象和普遍，而不再局限于具体的图解模型。电场和磁场成为无法还原为机械模型的抽象概念。这一点并不难理解，因为电场强度的单位是能量的平方根（例如，每立方米焦耳的平方根），而这种平方根形式的能量无法直接被测量。

尽管从现代视角看，麦克斯韦的论文是19世纪最重要的科学成就之一，仅次于达尔文的《物种起源》。但在其发表后超过20年的时间里，麦克斯韦的理论基本上被忽视了。即使是曾与他密切合作的开尔文，也认为麦克斯韦的论文难以理解。麦克斯韦的理论只是当时许多电磁学理论之一，人们并不清楚它相比于安培的理论有何优势。

麦克斯韦复杂的机械模型让问题更加难以理解。另一个原因是，麦克斯韦过于谦逊。在1870年的一次大型会议上，麦克斯韦将自己的理论描述为“另一个电学理论”，完全低估了它的重要性。然而，与其他电磁学理论相比，麦克斯韦理论的一个显著特点是，它独特地预言了光是一种电磁波。

麦克斯韦的理论的最终验证出现在他去世十年后。当时德国物理学家亨利希·赫兹通过一系列经典实验，证明了电磁波的存在。赫兹发现，可以在距离其装置较远的地方检测到电磁感应效应。这些波的频率与发射器的电感和电容相关。当他计算这些波的速度时，发现它与光在真空中的速度一致。

赫兹知道这些波是电磁波，因为他的火花间隙发射器能够产生它们。这成为麦克斯韦方程有效性的最终证明。麦克斯韦的模型成为理论物理学中模型建构的一个极端例子。

麦克斯韦最初以20个变量的复杂系统表达了他的电磁理论。后来，奥利弗·亥维赛和吉布斯将其简化为我们今天熟知的四个优雅的矢量方程。

麦克斯韦理论的最终意义远超其在解释和统一电与磁现象上的直接成就。它成为20世纪物理学伟大胜利的原型，例如爱因斯坦的相对论、量子力学、杨-米尔斯广义规范不变性理论，以及被称为标准模型的粒子与场的统一理论。这些理论都基于麦克斯韦在1865年引入的动力场概念。

来源：老胡科学一点号