摘要：不知道您有没有想象过有一天参加电视节目，就像电影《贫民窟里的百万富翁》里的贾巴尔·马利克那样，赢得百万大奖，走向成功人生呢。假如现在就有这样一个机会摆在面前，大家又能否做出正确选择呢？下面就让我们一起来看看吧。
不知道您有没有想象过有一天参加电视节目，就像电影《贫民窟里的百万富翁》里的贾巴尔·马利克那样，赢得百万大奖，走向成功人生呢。假如现在就有这样一个机会摆在面前，大家又能否做出正确选择呢？下面就让我们一起来看看吧。
游戏开始
在我们面前有三扇门，其中某一扇后面是百万奖金，而另外两扇门后面则是谢谢惠顾。就在我们选定一扇门后，主持人突然开口说，看你一路闯到这里也不容易，不如我来帮帮你吧。随后他打开了另外两扇门中的一个空门（主持人是清楚所有门后的具体情况的）。此时主持人向我们问到：现在再给你一次机会，你要变更自己的选择吗？面对这个问题，大家会作何选择呢，是保持原来的选择不变，还是要换一个门呢？事实上，这个问题是历史上著名的概率学悖论蒙提霍尔问题，其名字来自于美国电视节目《Let’s Make a Deal》的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall），此问题最初由史蒂夫·赛尔文（Steve Selvin）于1975年提出并解决，并在90年代引起过大量讨论[1]。
初次遇到这个问题，我们或许会很自然地产生一个想法，由于主持人排除了一个空门，说明奖金只在剩下的两个门后，也就是说选择两个门得到奖金的概率应该相等，均为50%，那么在这种情况下选择变更与否似乎就无关紧要了。但是，事情真的是这样的吗？
初步分析
下面我们不妨将所有可能性列表整理出来，来验证一下更换选择与否得到奖金的概率究竟是不是五五开。
为了简单起见，我们将最开始选定的门标记为1号门，此时由于是完全随机的，我们知道得到奖金的概率应该是1/3。随后主持人在剩下的两个门中排除了一个空门，若我们一开始就选中了奖金，那么变更选择后显然不会获奖；而如果我们一开始选定的是空门，那么变更选择后则必然会获奖。分析到这里，答案已经呼之欲出了，不换门的获奖概率是1/3，而由于初始选中空门的概率为2/3,换门后获奖的概率则是2/3。也就是说只要更换选择，获奖概率居然可以翻一番！
第一扇门第二扇门第三扇门变更后是否获奖奖金空空否空空奖金是一个推论
事情进行到这里，按照上面的分析方法，我们甚至可以得出一个更有趣的推论：假如最开始门的数量不是三扇而是一百扇[2]，同样是我们随机选择一扇门，然后主持人帮我们排除掉剩余99扇门中的98扇空门，此时如果换门的话，获奖的概率居然会高达99%！简直相当于是白送啊！这就有点超出我们的预期了，主持人只是帮忙排除了一系列空门，居然可以帮我们把获奖概率从1%提升到99%。下面就让我们一起看看在这个过程中到底发生了什么吧。
事实上，分歧产生的关键其实在于下面这个问题与蒙提霍尔问题是否等价：主持人首先随机排除一个空门（标记为3号门），然后我们从剩下的两个门（1号与2号门）中挑选一个。
这个问题与我们最初讨论的问题等价吗？
若二者等价，则换门获奖的概率显然是1/2，若不等价，则应是我们上面分析得到的2/3。那么这两个问题的区别到底在哪里呢？可以看到，询问这两个问题是否等价实际上相当于询问1号门与2号门的地位是否相等。在上面的问题中，二者地位并无不同，那么在蒙提霍尔问题中，它们的地位又是否一样呢？
为表述方便，这里将蒙提霍尔问题中开始时选择的门记为1号门，可以更换选择的门记为2号门。在主持人排除掉一个空门之前，1号与2号门地位相同，因此关键在于主持人排除一个空门（也即3号门）的这个操作上。
首先我们知道，最初随机选择1号门，我们的获奖概率为1/3，同时奖金在2号和3号门之后的概率为2/3。此时主持人将2号与3号门中的一个空门排除掉（我们将其记为3号），由于此操作不应影响之前选择1号门的获奖概率，那么2号3号门共同的2/3概率就只能落到2号门上了，看起来就像是2号门将3号门的概率抢来加在了自己身上。对于推论中的情形，由于最初奖金不在1号门后的概率为99%，因此当主持人从99扇门中排除掉98扇门后，这99%的概率也就落到了2号门上。
三扇门时的概率分析，注意只要主持人不动第一扇门，那他做任何事情都不应影响最初的1/3概率
为便于理解，这里用一个竞技类的体育比赛做类比[3]。一开始，我们对三人一无所知，因此押注任何一人获胜的概率均为1/3。随后2号与3号之间进行了比赛且2号击败了3号（对应主持人从二者中排除一个空门），那么对于我们来说，放弃并不了解的1号转而押注2号的胜率理应是要更高一些的。反之，如果我们只知道3号被淘汰了却不知被1号与2号中的谁淘汰了，那么我们在1号与2号之间便不再有倾向性，押中胜者的概率应为1/2。对于推论中的情况，则相当于2号击败了98个对手后再与1号比赛，那么对于了解这一信息的我们而言，显然转而选择2号是更好的选择。
随机选择的1号与击败了98个对手的2号
至此，相信大家已经察觉到是什么导致蒙提霍尔问题中1号门与2号门之间地位的不对等了。没错，是关于2号门的信息[4]，主持人从2号与3号中排除3号门这个操作实际上给了我们关于2号门的额外信息，3号门的获奖概率被加到了2号门上，而与此同时我们对于1号门却依旧一无所知。这种信息上的不对等在实质上导致了二者在获奖概率上的差异。
对我们的启发
蒙提霍尔问题之所以反直觉，其实就在于我们初看时很容易忽略掉主持人的操作带给我们的关于2号门的有效信息，而误以为1号与2号门地位相等。在注意到这一点之后，选择换门则可以使我们的获奖概率大幅提高。
类似的问题在生活中也很常见，一道英语选择题，对于没有学过英语的人来说似乎四个选项并无不同，也因此他答对的概率很可能是1/4；但是对于一个精通英语的人而言，同样四个选项在他眼中则分量各有轻重，而他做对的概率也会趋近于1。也正因此，我们在今后面对选择时才更应该多做调查分析，牢记信息是决策的基础，在掌握足够的信息之后再做决定。当然现实情况往往要比上面的概率问题要复杂得多，比如我们要考虑信息来源的全面与否，核查信息的可信度，解决信息的汇总提炼与分析等等，而那些就是另外的问题了。
[1]https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem
[2]J. Rosenhouse. The Monty Hall Problem: The Remarkable Story of Math's Most Contentious Brain Teaser. Oxford University Press, USA, 2009.
[3]https://betterexplained.com/articles/understanding-the-monty-hall-problem/
[4]Stephen Lucas, Jason Rosenhouse, and Andrew Schepler. The monty hall problem, reconsidered. Mathematics Magazine, 82:332-342, 12 2009.
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来源：阅读时代杂志