摘要：二次函数动态几何是中考数学的 “压轴难点”—— 点动、线动、图形动，还结合二次函数图像，很多孩子看到 “运动” 就慌，觉得 “条件变来变去，根本没法解”。其实这类题的核心是 “以静制动”：不管怎么动，总有 “不变的量”（比如线段长度、角度关系、函数解析式），抓
二次函数动态几何是中考数学的 “压轴难点”—— 点动、线动、图形动，还结合二次函数图像，很多孩子看到 “运动” 就慌，觉得 “条件变来变去，根本没法解”。其实这类题的核心是 “以静制动”：不管怎么动，总有 “不变的量”（比如线段长度、角度关系、函数解析式），抓住不变量，再按 “定变量→列关系→找临界” 的步骤走，就能轻松破题。
去年帮学生小浩突破这类题，他从 “看到动态题就跳过” 到 “能完整写出 2 种情况的解题过程”，数学压轴题直接多拿 6 分，总分从 90 提到 102（满分 120）。关键是掌握 “不变量找法” 和 “分类讨论套路”，不用硬啃复杂图形。
二次函数动态几何主要考 3 类，每类的 “运动对象” 和 “不变量” 不同，先分清类型，再找不变量，解题不跑偏：
动态类型常考场景核心不变量单点运动点在抛物线上 / 直线上运动，求构成特殊图形（等腰、直角三角形）的位置二次函数解析式、固定点坐标、线段长度关系（如 AB=5，始终不变）双点运动两点分别在抛物线和直线上运动，求线段和最小 / 差最大，或构成平行四边形函数解析式、两点间距离公式、平行四边形对边相等的性质图形运动三角形 / 四边形沿直线平移、绕点旋转，与抛物线产生重叠或交点平移距离 / 旋转角度（可设为参数）、图形的边长 / 角度（平移 / 旋转后不变）比如 “点 P 在抛物线上运动，点 Q 在 x 轴上运动，求 PQ+PA 最小”（A 为固定点），不变量就是 “抛物线解析式”“点 A 坐标”“PQ 垂直 x 轴（若有此条件）”，运动的只是 P、Q 的坐标，抓住这些不变量就能列关系。
所有动态问题都有 “不变的量或关系”，找不到不变量，就会陷入 “变量太多没法算” 的困境。3 类不变量的找法：
固定条件不变：题目中 “给定的函数解析式、固定点坐标、已知线段长度”，比如 “二次函数 y=x²-2x-3”“点 A (0,1)”“AB=2”，这些从头到尾不会变，是解题的基础；几何性质不变：图形运动时，本身的性质不变，比如 “等腰三角形平移后还是等腰三角形（腰长不变）”“矩形旋转后对边仍相等、四个角仍为直角”；数量关系不变：比如 “平行四边形对边相等”“直角三角形勾股定理”“相似三角形对应边成比例”，这些关系不会因运动改变，是列方程的关键。举例：“矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转，点 A 在抛物线上”，不变量是 “矩形的边长 OA、OC（旋转后长度不变）”“∠AOC=90°（旋转后角度不变）”，设旋转角度为 θ，用三角函数表示 A 点坐标（OA・cosθ, OA・sinθ），再代入抛物线解析式，就能解出 θ。
运动的量（比如点的坐标、平移距离、旋转角度）没法直接算，就用 “参数” 表示（比如设运动时间为 t，点坐标为 (t, t²-2t-3)），把动态问题变成 “含参数的静态代数问题”，再通过方程求解参数。
常见参数设定方法：
点在抛物线上运动：设横坐标为 t，纵坐标用抛物线解析式表示（如 P (t, at²+bt+c)）；点在直线上运动：设横坐标为 t，纵坐标用直线解析式表示（如 Q (t, kt+b)）；图形平移：设平移距离为 h（水平平移）或 k（垂直平移），平移后点的坐标 = 原坐标 ±h（或 k）；图形旋转：设旋转角度为 θ，用三角函数（sinθ、cosθ）表示旋转后点的坐标（需结合旋转中心）。技巧 3：3 步套路 —— 从 “设参数” 到 “求答案”，每步有章法以 “单点运动 + 特殊图形存在性”（中考最常考）为例，按 “设参数→列方程→验结果”3 步走：
示例：已知二次函数 y=x²-2x-3，点 P 在抛物线上运动，点 Q (2,0) 为固定点，当△POQ 为等腰三角形时，求点 P 的坐标（O 为原点 (0,0)）。第一步：设参数（定变量）设动点 P 的坐标为 (t, t²-2t-3)（P 在抛物线上，纵坐标用解析式表示，t 为参数）；固定点坐标：O (0,0)、Q (2,0)，不变量：OQ 长度 = 2（两点间距离公式计算），△POQ 为等腰三角形（需满足 “两边相等”）。第二步：列方程（用不变量找关系）等腰三角形分 3 种情况（不变的几何性质：两边相等），分别列方程：情况 1：OP=OQ（OP、OQ 为腰）OP 长度 =√[(t-0)²+(t²-2t-3-0)²]，OQ=2，所以：√[t²+(t²-2t-3)²] = 2 → 平方后：t²+(t²-2t-3)² = 4；情况 2：OP=PQ（OP、PQ 为腰）PQ 长度 =√[(t-2)²+(t²-2t-3-0)²]，所以：√[t²+(t²-2t-3)²] = √[(t-2)²+(t²-2t-3)²] → 平方后化简：t²=(t-2)² → t=1；情况 3：OQ=PQ（OQ、PQ 为腰）PQ=2，所以：√[(t-2)²+(t²-2t-3)²] = 2 → 平方后：(t-2)²+(t²-2t-3)² = 4；第三步：验结果（排除无效解）解方程：分别解 3 个方程，得到 t 的可能值（比如情况 2 解得 t=1，代入抛物线得 P (1,-4)；情况 1、3 解方程后得到 t=0、t=3 等）；检验：① 排除 “三点共线”：若 P、O、Q 在同一直线上（比如 t=0 时 P (0,-3)，O (0,0)，Q (2,0)，三点不共线，有效；t=3 时 P (3,0)，与 Q (2,0)、O (0,0) 共线，不能构成三角形，排除）；② 确认在抛物线上：所有解都代入抛物线解析式，确保 P 点在抛物线上（参数 t 的取值无额外限制，只需满足方程）；最终得到有效 P 点坐标（如 (1,-4)、(0,-3) 等）。参数设定 “太复杂”：比如点在抛物线上运动，别设两个参数（x、y），用一个参数 t 表示 x，y 用解析式表示（y=at²+bt+c），减少变量；分类讨论 “漏情况”：等腰三角形必分 “三边分别为底” 3 种情况，直角三角形必分 “三个角分别为直角” 3 种情况，别只算 1-2 种，漏一种就丢 2 分；结果检验 “不认真”：解方程得到参数后，一定要检验 “是否能构成图形”（如三点共线、线段长度为 0）和 “是否在运动范围内”（如点在 “线段 AB 上”，参数需满足线段的 x/y 范围），比如参数 t=5，但线段 AB 的 x≤3，需排除。入门阶段（1-2 周）：练 “单点运动 + 等腰 / 直角三角形存在性” 题，每天 1 道，重点练 “参数设定” 和 “3 种情况分类”，确保能列出方程；进阶阶段（2-3 周）：练 “双点运动 + 线段最值” 题（如 PQ+PA 最小），重点练 “利用函数解析式转化线段长度” 和 “二次函数求最值”，熟悉 “将军饮马” 等模型；压轴阶段（3-4 周）：练 “图形运动 + 重叠面积” 题，重点练 “参数表示平移 / 旋转后点的坐标” 和 “分段讨论面积表达式”，先保证能写出 1-2 段的面积公式。其实二次函数动态几何没那么难，核心是 “不被‘动态’吓住”—— 抓住不变量，把运动的量用参数表示，再用几何性质列方程，每步按套路来，哪怕是中档生，也能拿到大部分分数。
来源：诗意枫叶