摘要：这段内容在《历代志下》4:2 中也能找到，记载的是公元前 950 年左右建造所罗门圣殿时的计数规格。这里提到的圆周率 π 值是 3，显然不算精确，即便放在当时也不算——要知道更早之前，埃及人和巴比伦人就已经算出了更接近真实值的结果：埃及人的 π 约为 256/

圣经里有一段不太为人熟知的经文，是这么写的：

“他又铸了一个铜海，样式是圆的，从这边到那边共十肘，高五肘，围腰三十肘。”（《列王纪上》7:23）

这段内容在《历代志下》4:2 中也能找到，记载的是公元前 950 年左右建造所罗门圣殿时的计数规格。这里提到的圆周率 π 值是 3，显然不算精确，即便放在当时也不算——要知道更早之前，埃及人和巴比伦人就已经算出了更接近真实值的结果：埃及人的 π 约为 256/81，巴比伦人的则是 √10≈3.162。不过这里也要替所罗门的工匠们说句公道话，他们描述的“铜海”本就是某种巨大的铜器，这种大物件既不可能、也没必要追求极高的几何精度。

古埃及数学的瑰宝《莱因德数学纸草书》由埃及抄写员阿莫斯(Ahmes)编写，记载了各种数学问题及其解法。1858 年被苏格兰古物学家亨利·莱茵德(Henry Rhind)发现，因此得名。

纸草书包含了几何、分数运算、面积计算、体积计算等内容，展示了古埃及人在建筑、农业和商业中的数学应用。

“圆的周长与直径的比值是恒定的一个数”这个事实，人们早就知道了，具体起源已无从考证。最早的 π 值（包括圣经里的 3），几乎都是通过测量得到的。比如公元前 1650 年左右的埃及《莱因德数学纸草书》（Rhind Papyrus）中，就有充分证据表明当时人们用 4×(8/9)²≈3.16 作为 π 的近似值。

而第一个通过理论计算得到 π 值的，大概是叙拉古的阿基米德（Archimedes of Syracuse，公元前 287-前 212 年）。他算出的结果是： 223/71

在简单说说他的证明思路前，有个点值得注意：这里用到的不等式，其实暗含了相当高的数学技巧。阿基米德很清楚——直到现在还有很多人不清楚——π 并不等于 22/7，他也从没宣称自己找到了 π 的精确值。如果我们取他两个边界值的平均值，得到的结果是 3.1418，误差仅约 0.0002。

假设有一个半径为 1 的圆，在圆内作一个边数为 3×2ⁿ⁻¹ 的正内接多边形，其半周长记为 bₙ；再作一个同样边数的正外切多边形，半周长记为 aₙ。（下面是 n=2 时的示意图，即边数为 12 的多边形）

这种做法会定义出两个序列：一个是递增序列 b₁, b₂, b₃, … ，另一个是递减序列 a₁, a₂, a₃, … ，而这两个序列的极限都是 π 。

咱们不该觉得 “他怎么咋算到 96 边形就停了”，反而该惊叹“居然能硬生生算到 96 边形”—— 要知道在没有任何现代数学工具的情况下，这已经是超了不起的成就了。

理论上，只要不断增加多边形边数，就能算出更精确的 π 值。后来确实有不少人这么做，比如：

除了祖冲之，这些改进都没有理论上的突破，靠的只是更强的计算耐力。有意思的是，就像其他科学领域一样，在公元 400 到 1400 年这一千年里，π 值计算的领先地位是从欧洲转移到了东方。

花拉子米生活在巴格达，顺便说一句，“算法（algorithm）”这个词就源自他的名字，而他某本著作标题里的“代数学（al jabr）”，则成了“代数（algebra）”一词的来源。卡西生活的地方更靠东，在撒马尔罕。

欧洲文艺复兴最终带来了全新的数学世界，其中一个早期成果就是出现了计算 π 的数学公式。最早的公式之一是沃利斯（1616-1703 年）提出的：

而最知名的公式之一，是这个无穷级数：

这个级数有时会归功于莱布尼茨（1646-1716 年），但实际上最早是詹姆斯·格雷戈里（1638-1675 年）发现的。

这些公式既惊艳又出人意料——右边都是纯算术形式，而 π 最初是从几何里来的。它们向我们展示了无穷过程能带来多么惊人的结果，也为现代数学的丰富内涵指明了方向。

不过从计算 π 值的角度看，这两个公式其实没什么用。比如格雷戈里级数，要想得到 4 位精确小数，误差得小于 0.00005，这意味着需要约 10000 项才能做到。但格雷戈里还证明了一个更通用的结果：

只要令 x=1 ，就能得到前面那个 π 的级数。但如果利用 arctan(1/√3)=π/6 ，就能得到一个收敛快得多的级数：

这个级数的第 10 项是 1/(√3×19×3⁹) ，小于 0.00005 ，也就是说，只需要 9 项就能得到至少 4 位精确小数。

其实只要会证明公式(4)，证明(5)也没什么额外难度，就是计算过程麻烦点。当然，能想出这个公式本身，就是另一回事了。

有了这样的公式，计算 π 的唯一难点就只剩过程的枯燥了。不用说，还真有人愿意花大量时间和精力在这种单调又无用的追求上。其中一位是英国的尚克斯（Shanks），他用梅钦公式算出了 π 的 707 位小数，并在 1873 年发表了自己多年的计算成果。尚克斯能留名，原因还挺特别，我们马上就会说到。

先看看 π 值计算精度的提升历程：

尚克斯知道 π 是无理数（irrational number），因为兰伯特（Lambert）早在 1761 年就证明了这一点。就在尚克斯完成计算后不久，林德曼（Lindemann）证明了 π 是超越数（transcendental number）——也就是说，π 不是任何整系数多项式方程的解。其实林德曼的这个结果，也证明了“化圆为方”是不可能的：既然 π 是超越数，就不可能用尺规作图画出一个和给定圆面积相等的正方形。

尚克斯的计算结果公布后没多久，德摩根（De Morgan）就发现了一个奇怪的统计现象：在这 707 位小数里，数字 7 出现的次数异常少。他在 1872 年的《悖论集锦》里提到了这一点，但这个疑问一直悬到 1945 年才解开——弗格森（Ferguson）发现尚克斯在第 528 位小数处算错了，后面的所有数字自然也都错了。1949 年，人们用计算机算出了 π 的 2000 位小数。在这次及之后所有计算机算出的结果里，数字 7 的出现次数都和预期差不多，而且到目前为止，π 的小数序列通过了所有随机性统计测试。

我们得说说 π 这个符号是怎么来的。1647 年，奥特雷德（Oughtred）用“d/π”表示圆的直径与周长的比值；1697 年，大卫·格雷戈里（David Gregory）用“π/r”表示圆的周长与半径的比值。而第一个用 π 表示现在这个含义（周长与直径的比值）的，是威尔士数学家威廉·琼斯（William Jones）——1706 年，他在著作中写道“3.14159…=π”。1737 年，欧拉（Euler）采用了这个符号，之后 π 很快成为标准表示法。

布丰投针问题

如果有一组等距的平行直线（间距为 1），把一根长度 l ≤ 1 的针随机扔到这组直线上，针与直线相交的概率是 p = 2l/π。有不少人试着用这种方法算 π，其中最出名的是拉泽里尼（Lazzerini）在 1901 年的实验——他扔了 34080 次针，算出 π = 355/113 ≈ 3.1415929

巧合的是，这个值正是祖冲之算出的结果。这个结果准得有点可疑，而“34080 次”这个奇怪的次数也暴露了问题。肯德尔（Kendall）和莫兰（Moran）指出，只要在“最佳时机”停止实验，就能得到一个理想值；但如果事先定好扔针次数，这种方法算 π 其实非常不准。他们还调侃说，不如找一块圆形木头，用卷尺量它的周长和直径，结果会更准。

说到“可疑实验”，格里奇曼（Gridgeman）在一篇嘲讽拉泽里尼等人的论文里，还搞了个有趣的恶作剧：他选了一根长度 k=0.7857 的针，扔了两次，有一次和直线相交，然后根据公式计算：

算出 π≈3.1428 ，这个结果看起来还挺可信——当然，他根本没当真。

1934 年，居然有人以 π 的定义为借口，对著名数学家埃德蒙·兰道（Edmund Landau）发起了种族攻击，这事听起来简直难以置信。那一年，兰道在哥廷根出版的教材里，用了现在相当常见的方法定义 π：π 是 1 到 2 之间使 cos x = 0 的 x 值。这个定义引发了一场学术争议，最终导致兰道被免去哥廷根大学的教授职位。

比贝尔巴赫（Bieberbach）虽然是一位知名数论学家，但本人的种族主义观点让其声名狼藉，他试图这样解释免职兰道的原因： “哥廷根学生群体勇敢地反对伟大数学家埃德蒙·兰道，归根结底是因为这个人在研究和教学中‘非德国式’的风格，让德国人无法忍受。一个民族既然意识到另一个种族正试图强加外来思想，就必须拒绝接受异文化的教师。”

G·H·哈代（G·H·Hardy）立刻在一篇公开评论中反驳比贝尔巴赫，针对这种“非德国式 π 定义”的说法： “我们中有很多人，无论是英国人还是德国人，在战争期间都说过一些言不由衷、现在回想起来会后悔的话。为了自己的地位焦虑，害怕跟不上愚蠢的潮流，不顾一切想不被落下，这些理由或许情有可原，哪怕不算英勇。但比贝尔巴赫教授的声望，让这些理由无法解释他的言论——我只能得出一个不太善意的结论：他是真的相信这些话。”

不光德国因为 π 出了问题，美国也曾因为 π 的取值引发过激烈的政治争论。1897 年，印第安纳州众议院全票通过了一项法案，宣称要确立一个“新的数学真理”： “印第安纳州议会颁布法令：经发现，圆的面积与‘等于圆周长四分之一的线段所构成的正方形’的面积之比，等于矩形（这里实指正方形）的面积与其一边构成的正方形的面积之比。”（1897 年《印第安纳州众议院第 246 号法案》第一节）

还好印第安纳州参议院更理智，把这项法案无限期搁置了！

最后给大家一个记忆 π 小数展开的口诀——每个单词的字母数，对应 π 的一位小数： “How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard...”（中文大意：听了量子力学的沉重讲座后，我多想来杯酒，当然是含酒精的。普朗克先生，你的几何课实在太难了……）

对应的 π 值是：3.141592653589793238462643383279...

本文译自 MacTutor 网站，作者 J J O'Connor and E F Robertson。原文除另有标注外遵循 CC BY-SA 4.0 国际许可协议。翻译：【遇见数学】，译文继承原协议：可自由复制、改编，但需标注原文来源、作者及本译文；改编后分享需采用同类许可。

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