摘要：题目1：如图1，圆O为△ABC的外接圆，AD⊥BC，垂足为D；CE⊥AB，垂足为E，AD、CE相交于H（垂心），则点H关于AB、AC、BC的对称点均在圆O上。

题目1：如图1，圆O为△ABC的外接圆，AD⊥BC，垂足为D；CE⊥AB，垂足为E，AD、CE相交于H（垂心），则点H关于AB、AC、BC的对称点均在圆O上。

解题思路：连接BH并延长交AC于F，交圆O于G，连接GA、GC，则BG⊥AC（图2）。

根据同弦对等角性质，∠CAG=∠CBG=∠CAH。

在△AHG中，根据三线合一性质，易证HF=FG，故点H关于AC的对称点为G，且点G在圆上。

同理可证明点H关于AB、BC的对称点均在圆O上。

题目2：如图1，点O、H分别是△ABC的外心和垂心，点D、E在边AB上，且满足AD=BE，点P、Q在△ABC的外接圆上，且满足AP∥OD，PQ∥BC。证明EQ=EH。

解题思路：先利用已知条件AD=BE，连接OA、OB、OE（图2），易证△ODA≌△OEB，则△OED为等腰三角形，即

∠OED=∠ODE=∠BAP。

连接CH并延长交AB于D，交圆于F，则CF⊥AB，HD=DF（图3）。连接EF，则EF=EH。

连接FB、FQ，延长OE交FQ于G，如能证明OG⊥FQ，则EF=EQ成立。

设FC交AP于I，FQ交AB于J，根据圆的两条平行弦所夹的弧相等、同弧对等角性质及三角形外角性质，易证∠FJA=∠FIA=ε。

在△JGE和Rt△ADI中，∠GEJ=∠OED=∠ODE=∠BAP，∠FJA=∠FIA=ε，易证∠OGJ=∠ADI=90°，OG⊥FQ，即OG为FQ的垂直平分线，EF=EQ成立，EQ=EH得证。

来源：佩佩课堂