摘要：△ABC中，以AB，AC为边，分别在各自的上方作等边三角形△ABD，等腰三角形△ACE，AE＝CE，∠AEC＝120°，连接DE，BC；

三角形、四边形综合大题，常作为中考压轴。

本文这道题第二问要求至少两种解法，第三问看着头皮发麻。

您愿意挑战一下吗？

注意练就自己精准画图。

△ABC中，以AB，AC为边，分别在各自的上方作等边三角形△ABD，等腰三角形△ACE，AE＝CE，∠AEC＝120°，连接 DE，BC；

(1)如图1，若AB∥CE，AB＝AC＝12，求△ABC的面积；

(2)如图2，点F为BC中点，求证：DE＝2EF(要求至少两种证法)；

(3)如图3，DE＝AB，∠ADE＝32°，点N为直线BC上的动点，连接DN，作△ACE关于DN所在直线的对称图形，记作△A'C"E'，连接 AE'， BE'，当△ABE'为直角三角形时，请直接写出∠ADN的度数(本文要求有具体过程)。

求三角形面积，特别是在坐标系中，通常用“割补法”。

本题不宜割补。那就抓紧看△ABC以哪条边为底。

最好以已知边AB或AC为底。然后作AB边上或AC边上的高。

∵AB∥CE，∴内错角∠BAE＝∠AEC＝120°，

∵AE＝CE，∠AEC＝120°，∴∠EAC＝30°，

∴∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝120°＋30°＝150°，

过点B作BF⊥CA交CA的延长线于点F，则∠BAF＝180°－∠BAC＝180°－150°＝30°，

∴BF＝(1/2)AB＝(1/2)×12＝6(30°所对的直角边等于斜边的一半)，

则S△ABC＝(1/2)×AC×BF＝(1/2)×12×6＝36。

第一问略加探究，便知①BD∥AE，②△ADC是等腰直角三角形，③点F不是BC中点。

求证“DE＝2EF”，注意，第二问可没说“AB∥CE，AB＝AC”。

难度增大了！还要求至少两种证法！

证法一：较麻烦。辅助线构造等边三角形。需证全等两次。

让证DE＝2EF，那就辅助线作出2EF。延长EF至点G，使FG＝EF，连接DG。只需证△DEG是等边三角形。

证“△DEG是等腰直角三角形”需要DG＝DE，这又得证全等△BDG≌△ADE。

找条件：①BD＝AD已知，②BG＝AE可通过△BGF≌△CEF(SAS)证得。

两边对应相等情况下证全等，要么再一边、要么找夹角。现在就证等边呢、就别找边了。

故，证∠DBG＝∠DAE很关键。还需做辅助线。

由△BGF≌△CEF深挖，知对应角∠FBG＝∠FCE，故BG∥CE。

延长CE交BD于点H，由BG∥CE知，∠DHE＝∠DBG，对照目标∠DBG＝∠DAE，只需证∠DHE＝∠DAE。

∠DHE＝∠DAE很容易证。设CE的延长线交AB于点O，观察△HDO和△AEO：有一组对顶角；∠HDO＝60°已知等边△BAD，∠AEO＝60°是已知∠AEC的补角。您也可通过四点共圆。

这就证明了△BDG≌△ADE(SAS)。故DG＝DE且∠2＝∠3，由已知∠2＋∠4＝60°，故∠3＋∠4＝60°。故△DEG是等边三角形，则DE＝EG＝2EF。

您能自己快速整理成卷面吗？

证法二：较简便。凡见到等边三角形注意考虑旋转。仅需证全等一次。

让证DE＝2EF，依然考虑辅助线构造等边三角形。

将△DAE绕点D顺时针旋转60°得△DBG，则△DEG为等边三角形。

设BG的延长线与AE、AC分别交于点P、Q，由旋转60°知BG和AE所成的锐角为60°，即∠EPQ＝60°，

而已知∠AEC＝120°，故BG∥CE，则内错角∠FBG＝∠FCE。

易证得△BGF≌△CEF(BF＝CF已知，∠FBG＝∠FCE已证，BG＝AE＝CE)，故∠BFG＝∠CFE，故E、F、G三点共线且GF＝EF，又△DEG为等边三角形，故DE＝2EF。

证法二关键注意：旋转后的△DEG虽然是等边三角形，但点G是否在直线EF上不可忽略。

证法二简洁明快，目前全网没这个解法。

快速弄明白真相：

①等边三角形△ABD和底角为30°的等腰三角形△ACE的大小和位置是固定的。因为有∠ADE＝32°牵连着。

②△A'C"E'和△ACE关于直线DN对称，点N为直线BC上的动点。

③当△ABE'为直角三角形时，求∠ADN的度数。

看着害怕的题，往往并不复杂。

从“△ABE'为直角三角形”杀开血路。

显然需要分类讨论。让△ABE'的每个顶点都充当一次直角。

由于“点N为直线BC上的动点”，即对称轴DN时刻在变，故点E'也时刻行踪不定。

但，由已知“DE＝AB”不难发觉，点E'在以D为圆心、以DE为半径的圆上。

情形一：当∠AE'B＝90°时：如上图，点E'只能在BD(或AD)的中点处。△ABD内部的点E'不合题意，因为违背了DE＝(1/2)AB。

第三问，对于“精准画图”要求较高。建议平时注意锻炼。

对称点E和E'的连线被对称轴DN垂直平分。

故∠E'DN＝∠EDN＝∠E'DE＝×(60°＋32°)＝46°，

则∠ADN＝∠EDN－∠ADE＝46°－32°＝14°。

以上是点E'在BD中点处时。若点E'在AD中点处，立即用铅笔重新画图如下：

很显然，∠ADN＝∠E'DE＝(1/2)×32°＝16°。

只要确定了点E'的位置，啥都好说。

情形二：当∠ABE'＝90°时：如下图，点B处为直角顶点，则∠DBE'＝90°－∠ABD＝90°－60°＝30°。

又DE'＝(1/2)AB，故△BE'D为直角三角形、∠BE'D＝90°，则∠BDE'＝60°。

所以∠E'DE＝∠BDE'＋∠BDA＋∠ADE＝60°＋60°＋32°＝152°。

由对称知，∠E'DN＝∠EDN＝(1/2)∠E'DE＝(1/2)×152°＝76°。

故∠ADN＝∠E'DN－∠ADE＝76°－32°＝44°。

顺便问一句，上面过程中的“故△BE'D为直角三角形”，您会证明吗？

情形三：当∠BAE'＝90°时：让点A也当一回直角顶点，享享福。

如下图，点A处为直角顶点，则∠DAE'＝90°－∠BAD＝90°－60°＝30°。

又DE'＝AD，故△AE'D为直角三角形、∠AE'D＝90°，则∠ADE'＝60°。

所以∠E'DE＝∠ADE'－∠ADE＝60°－32°＝28°。

由对称知，∠E'DN＝∠EDN＝(1/2)∠E'DE＝(1/2)×28°＝14°。

故∠ADN＝∠EDN＋∠ADE＝14°＋32°＝46°。

综上，∠ADN的度数为14°或16°或44°或46°。

针对情形二和情形三：在△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝(1/2)AB，求证△ABC为直角三角形。

您是否觉得可笑？

这里推出两种证法：

证法一：如下图，用高中的正弦定理，一步到位、不用辅助线。

证法二：初中证法，过点B作BD⊥AC交AC(或AC的延长线)于点D，

∵∠A＝30°，BD⊥AC，∴BD＝(1/2)AB(30°所对的直角边等于斜边的一半)，

∵经过点B的AC的垂线有且只有一条BD，BD＝(1/2)AB，而已知BC＝(1/2)AB，

∴BD与BC重合，即点C和点D重合，

∴△ABC是以∠ACB为直角的Rt△。

严谨的事情，即使很简单，也要有必要的推理证明。

本题的教训：看上去较复杂的题，只要沉下心独立深入思考，耐心寻找突破口，再加上平时善于总结，考场上还是能够拿到分的。

我的建议：平时尽量自己思考，不搜答案。像deep啥k、粘豆包等，搜得的答案经常错误还无理狡辩(问它们小学的题还行)。

作者简介

中共党员，高中教务主任，常年兼任高中数学、物理、化学等科目。中考数学命题组成员。

专注教育领域，持续发布小升初、中考、高考压轴大题的多角度原创详细权威解析，力求篇篇经典。不卖课、不带货、不卖资料，干干净净免费传播知识。

发文涉及科目主要有中高考数学、物理，偶尔也有英语、化学、作文。

整个到了高中，俺依然是您的良师益友。

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来源：雯婷教育