摘要：我们在先导篇《“群”众》中 熟悉了 很多具体的群，在这些群中，一般线性群 GL(V)（或 GLₙ(F)）是 比较 特殊的。为什么？

我们在先导篇《“群”众》中 熟悉了 很多具体的群，在这些群中，一般线性群 GL(V)（或 GLₙ(F)）是 比较 特殊的。为什么？

〓 考虑 正有理数乘法群 (ℚ⁺, ·) ，可以选取 GL₂(ℝ)，这样 对于 任意 a ∈ (ℚ⁺, ·) ，都有，

与之一一对应，于是 就有了一个 单射 ρ: (ℚ⁺, ·) → GL₂(ℝ)，由于，

所以 ρ 是一个 群同态，从而说明 (ℚ⁺, ·) 可以嵌入 GL₂(ℝ) 中。

〓 考虑 整数加法群 (ℤ, +)，可以选取 GL₂(ℝ)，并指定 q ∈ ℝ（q ≠ 0），这样 对于 任意 a ∈ (ℤ, +) ，都有，

与之一一对应，于是 就有了一个 单射 ρ: (ℤ, +) → GL₂(ℝ)，由于，

所以 ρ 是一个 群同态，从而说明 (ℤ, +) 可以嵌入 GL₂(ℝ) 中。

〓 考虑二面体群 Dₙ，不妨定义，

则有，

选取 GL₂(ℝ)，

◉ 因为 ℝ² 上 旋转变换 为，

所以，a 对应 GL₂(ℝ) 的方阵，

◉ 对 ℝ² 中的任意向量 r(cos(α), sin(α))，以 θ 角为轴 翻转 后得到 r(cos(θ+θ-α), sin(θ+θ-α))，而根据和角公式，

有，

这说明，b 对应 GL₂(ℝ) 的方阵，

这样，就可得到一个单射 ρ: Dₙ → GL₂(ℝ)，可以证明 ρ 是一个 群同态，这说明 Dₙ 可以嵌入 GL₂(ℝ) 中。例如，对于 D₃ 具体 有，

〓 考虑对称群 Sₙ，选取 GLₙ(ℝ)，这样 对于其中的任意 置换，

都有，

与之一一对应，其中，

称为 科罗奈克符号，这个一一对应是 合理的，因为，

于是 就可得到一个单射 ρ: Sₙ → GLₙ(ℝ)，可以证明 ρ 是一个 群同态，这说明 Sₙ 可以嵌入在 GLₙ(ℝ) 中，进而 交错群 Aₙ 作为 Sₙ 的子群，自然也就可以嵌入在 GLₙ(ℝ) 中。

以上这些例子，说明：

▶ 一般线性群 是一个“大” 群，它可以 包含 其它群；

实际上，

▶ 对于任意 群 G，我们总能 找到 一个 F 上 的线性空间 V，并 构造 一个 单群同态 ρ: G → GL(V)，让 G 是 GL(V) 的嵌入；

我们知道，对于任意非空集合 H 都可以 以其 元素 为基，构造一个 F 线性空间，记为，

FH ＝{∑ₕxₕh | h ∈ H, xₕ ∈ F}

其中，

因此，对于 任意 G 可选择 V 为 FG，这样 就有了，一个单同态，

ρreg: G → GL(FG), gx＝g(∑ₕxₕh)＝∑ₕxₕ(gh)

使得 G 是 GL(FG) 的嵌入。

受此启发，对于任意 群 G，以及 F-线性空间 V，我们 称群同态，

ρ: G → GL(V)

为 G 的一个 F-表示，记为 (V, ρ)。上面的 ρreg 被称为 正则表示。如果 ρ 是单同态，则称 ρ 是 忠实的，前面的所有例子 都是 忠实表示。

相对于 群，我们更熟悉 线性空间 ，群的表示 使得我们可以 借助 线性空间 来研究 群，这就是 群表示论。

复杂的群表示 可以被分解为 相对简单的群表示 的 直和。为什么？

考虑 XYZ 三维几何空间 V ，令，

则 f 是 V 上 以 Z 为轴 顺时针 旋转 θ 的线性变换，对与 XY 平面 U 内的任意点 (x, y, 0) ∈ U，因为，

这说明 f 在 U 内 封闭，我们 这样的 U为 f 的 不动子空间，此时，f 在 U 上的 截取 f|ᴜ 是 U 上 的线性变换，并且这里有，

考虑 群表示 ρ: G → GL(V)，若存在 一个 V 的子空间 U，使得 对于 任意 g ∈ G，U 都是 ρ(g) 的不变子空间，则有 ρ(g)|ᴜ 是 U 上的线性变换，即 ρ(g)|ᴜ ∈ GL(U) ，故 可以得到另一个 群表示，

ρ|ᴜ: G → GL(V), g ↦ ρ(g)|ᴜ

称 ρ|ᴜ 是 ρ 的子表示。任何 表示 总有 零表示 和 本身 是 其的 子表示，称它们为 平凡子表示，若 一个表示 只有 平凡子表示，则称其为 不可约的。

另外，我们知道，确定 V 的一组基 B＝{e₁... eₙ} 后，可逆线性变换 f 和 n阶可逆方阵 fʙ 一一对应，于是 若 记 GLₙ(F) 为 元素是 F 的 n阶可逆方阵 的全体 关于 矩阵乘法 组成的 群，则有，

ρ: G → GLₙ(F)

这称为 矩阵表示。

对于 V 的子空间 U 和 W，可 定义 和 运算如下，

特别地，若还有 U ∩ W = 0 ，则 称 此时的和 为 直和，并改记为 U ⊕ W。可以证明，

▶ 若 U 是 f 的 不动子空间，则 必然 存在 另一个 f 的不动子空间 W ，使得 V = U ⊕ W；

设 f 是 V 上的 线性变换，我们知道 在 V 给定 一组基 B={e₁, e₂, ..., eₙ} 后，f 和 n阶方阵 fʙ 唯一对应。我们 可以通过 选取 合适的 B 使得 fʙ 尽量简单，虽然 fʙ 不一定 可以 简化为 最简单的 对角线矩阵，

但是 一定 可以 简化为 准对角线矩阵，

其中，

不妨设 Λ₁, Λ₂, ..., Λₘ 的阶分别是 n₁, n₂, ..., nₘ，则有，

n = n₁ + n₂ + ... + nₘ

这将 B 分割为，

于是 分别记 它们张成的 子空间为，

V₁= Span(B₁), V₂ = Span(B₂), ..., Vₘ = Span(Bₘ)

则有，

V = V₁ ⊕ V₂ ⊕ ... ⊕ Vₘ

因为 对于任意 xᵢ = (0, ..., xi1, ..., xinᵢ, ..., 0) ∈ Vᵢ 都有，

所以 所有 V₁, V₂, ..., Vₘ 都是 f 的 不动子空间，这样我们就可以定义，

再回到 群表示 ρ: G → GL(V)，若 对于任意 g ∈ G，所有 V₁, V₂, ..., Vₘ 都是 ρ(g) 的不动子空间，则 我们就得到 一列 子表示，

ρ|ᴠ₁: G → GL(V₁)，ρ|ᴠ₂: G → GL(V₂), ..., ρ|ᴠₘ: G → GL(Vₘ)

于是，可令，

这称为 ρ 的直和分解。不可约表示 是不可进行 直和分解的，而 如果 一个表示 可以分解为 不可约越表示的 直和，则称其为 完全可约的。

群表示 的定义 打眼看来 很陌生，但其实 它就是 我们熟悉 的 模。为什么？

首先，分析 模的定义，

若 环 R 和 Abel群 M 之间具有 满足分配 的 乘法，

● 分配律（∀ a, b ∈ R, x, y ∈ M）：

① a(x＋y)＝ax＋ay；

② (a＋b)x＝ax＋bx；

则 称 M 为 R上的 模。

一般来说，我们还要求 模乘法 具有，

● 结合律：

③ (ab)x＝a(bx)

这样一来，模乘法 就是 R在M上的作用，即，

ρ: R×M→M, ρ(a, x) ＝ ax

若 对 ρ 进行科里化，

ρ: R→(M→M), ρ(a)(x)＝ρ(a, x)

于是 ① 就是，

ρ(a)(x＋y)＝ρ(a)(x)＋ρ(a)(y)

这说明 ρ(a): M→M 是群同态，故，ρ(a) ∈ End(M)，即，

ρ: R→End(M)

于是，结合 ②③ 分别有，

ρ(a＋b)(x)＝ρ(a)(x)＋ρ(b)(x)＝(ρ(a)＋ρ(b))(x)

ρ(ab)(x)＝ρ(a)(ρ(b)(x))＝(ρ(a)ρ(b))(x)

这说明，ρ: R→End(M) 实际上是 一个 环同态。

【注：这里，End(M) 是 M 上的全体群同态，关于，

● 加法：(f＋g)(x)＝f(x)＋g(x)

● 乘法：(fg)(x)＝f(g(x)) ④

构成的 自同态环，它是 一个 幺环。】

我们知道，环同态保持运算性质，有，

● ρ(0)＝0，因为 ρ(0)＋ρ(a)＝ρ(0＋a)＝ρ(a)；

● ρ(-a)＝-ρ(a)，因为 ρ(a)＋ρ(-a)＝ρ(a＋(-a))＝ρ(0)＝0；

若 R 是交换幺环，则有，

● ρ(1)＝1，因为 ρ(1)ρ(a)＝ρ(1a)＝ρ(a)；

● ρ(a)ρ(b)＝ρ(b)ρ(a)，因为 ρ(a)ρ(b)＝ρ(ab)＝ρ(ba)＝ρ(b)ρ(a)；

故 ρ(R) 也是一个 交换幺环。另外，还有，

● ρ(a⁻¹)＝ρ(a)⁻¹, 因为 ρ(a)ρ(a⁻¹)＝ρ(aa⁻¹)＝ρ(1)＝1；

所以，若 R 是 域 则 ρ(R) 也是。

设 M 和 N 都是 R 模，我们知道 群同态 f: M→N ，若 满足，

● f(ax)＝af(x)

就被称为 模同态，将 M 到 N 的 全体模同态 记为 Homʀ(M, N)，特别地，M上的全体 模同态 记为 Endʀ(M)＝Homʀ(M, M)，它是 End(M) 的 子环。

对于任意，f ∈ ρ(R)，必然存在 ρ(b)＝f，此时 若 R 可交换，则有，

f(ax)＝ρ(b)(ax)＝b(ax)＝(ba)(x)＝(ab)(x)＝a(b(x))＝a(ρ(b)(x))＝af(x)

所以 f 是模同态，故 ρ(R) ⊆ Endʀ(M)，即，

● 当 R 是交换环 时，有 ρ: R → Endʀ(M)

然后，我们 对 模的定义进行扩展：

我们知道 域 F 上的线性空间 V 就是 F-模，而 线性变换 就是 模同态，于是 根据上面的结论，线性空间的本质就是 环同态，

φ: F→Endғ(V)

并且 φ(F) 是域。

另一方面，因为，自同态群 Aut(M) 是 M 上的全体 可逆 群同态 关于 ④ 构成的 群，于是，对于 任意 群 G，可 仿照 上面 环上的 模 的定义，定义 群上的 模 为 群同态，

ρ: G → Aut(M)

它对应的 模乘法 只满足 ①② ，不满足 ③。

考虑 G-模 ρ: G → Aut(V)，因为，一般线性群 GL(V) 被 定义 为 V 上的 全体 可逆线性变换，所以，

GL(V)＝Aut(V) ∩ Endғ(V) ⑤

此时 如果 ρ(G) ∈ GL(V)，即有，

ρ: G → GL(V)

则 (V, ρ) 就是 G 的 F-表示。

由此可见，群 G 在 V 上 的一个 F-表示 ρ，就是满足 ⑤ 的 G-模，此时 同时有 域 F 和 群 G 作用在 V（当作 Abel群 看）上，于是 F 和 G 的特性 对 群表示 ρ 的性质，实际上有，

▶ 若 G 是有限群，并且 charF 不整除 |G|，则 G 的任意一个 F-表示 都是 完全可约的。

这就是 有限群表示论 中 最 重要的 Maschke 定理。

【注：|G| 指的是 G 的元素个数，即 G 的阶；charF 指的是 F 的特指数，即，1 不断自加，结果 等于 0 时 1 的 最小个数，若自己结果永远不为 0，则 令 charF = 0。】

除了判断 单个 群表示 的 可约性 外，判断 两个 群表示 是否 等价 也是 重要的 目标，这可以 通过 特征标 来 实现。为什么？

方阵 A 的 对角线 元素 之和 被称为 A 的 迹 ，记为 tr(A)，可以证明，

对于 V 上的 线性变换 f 以及 其在 基 B = {e₁, e₂, ..., eₙ} 上 对应的 方阵 fʙ 有，

对于 任意 另一个基 B' = {e'₁, e'₂, ..., e'ₙ} ，必然 存在 过渡矩阵 P 满足，

等式 两边 同时 作用 f 后 有，

而 B 线性无关，故 P fʙ' = fʙ P，又因为 P 可逆，所以，

fʙ' = P⁻¹ fʙ P

于是，

tr(fʙ') = tr(P⁻¹ fʙ P) = tr( fʙ P P⁻¹) = tr(fʙ)

这说明，虽然 随着 基的选取不同 f 对应的 方阵不同，但是 这些方阵的 迹 是相同，于是 这个相同的 迹 可以作为 f 的迹，记为 tr(f) = tr(fʙ)。

对于 G 的 F-表示 (V, ρ)，记，

χρ(g) = tr(ρ(g))

称为 特征标。

考虑 G 的两个 F-表示 (V, ρ) 和 (W, μ)，若 F-模同态 f: V → W，同时还是 G-模同态，即，还满足，

则称 f 为 表示同态（或 G-模映射）。若 f 是 模同构，则 认为 两个 表示 等价，此时 因 f 可逆 于是

ρ(g) = id ∘ ρ(g) = f⁻¹ ∘ f ∘ ρ(g) = f⁻¹ ∘ μ(g) ∘ f

进而，

tr(ρ(g)) = tr(f⁻¹ ∘ μ(g) ∘ f ) = tr(μ(g) ∘ f ∘ f⁻¹) = tr(μ(g))

即，

χρ = χμ

也就是说，

▶ 彼此等价的 群表示，特征标相同；

还可以证明，

▶ 当 charF = 0 是，彼此特征标相同 的群表示，等价。

(篇幅有点长，先写道这里吧！)

来源：思考思考的动物