摘要：幂的运算：包括同底数幂乘法（如\(a^2 \cdot a^5\)，需遵循 “底数不变，指数相加” 规则，避免误算为指数相乘）、积的乘方（如\((-a^2)^3\)，注意符号与指数分配，正确结果为\(-a^6\)），同时结合负整数指数幂、零指数幂的隐含考点（虽未

一、代数板块

（一）整式运算

幂的运算：包括同底数幂乘法（如\(a^2 \cdot a^5\)，需遵循 “底数不变，指数相加” 规则，避免误算为指数相乘）、积的乘方（如\((-a^2)^3\)，注意符号与指数分配，正确结果为\(-a^6\)），同时结合负整数指数幂、零指数幂的隐含考点（虽未直接出题，但为后续学习基础）。

整式乘除：

单项式乘多项式：如\(3xy(2x^2y^3 - xy^3)\)，需用单项式分别乘多项式每一项，再合并同类项，注意系数、同底数幂的运算规则。

多项式除以单项式：如\((6x^4y^2 + 12x^3y^2 - 3x^2y)÷3x^2y\)，将多项式每一项分别除以单项式，再将结果相加，避免漏项或系数计算错误。

乘法公式：

平方差公式：\((a+b)(a-b)=a^2 - b^2\)，如\((-x - y)(-x + y)\)，可变形为\((-x)^2 - y^2 = x^2 - y^2\)，需掌握公式结构，准确识别 “相同项” 与 “相反项”。

完全平方公式：\((a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\)，需注意与平方差公式的区别，避免出现\((a - b)^2 = a^2 - b^2\)的错误。

分组分解型公式：如\((a - b + 2)(a + b + 2)\)，可将\((a + 2)\)看作整体，用平方差公式展开为\((a + 2)^2 - b^2\)，再用完全平方公式展开，考查公式的灵活变形与应用。

（二）代数式求值与非负性

代数式化简求值：如已知\(2x^2 - 7x = 7\)，求\((2x - 3)^2 - (x - 3)(2x + 1)\)的值，需先将代数式化简为含已知条件的形式（如化简后为\(2x^2 - 7x + 12\)），再代入已知等式计算，避免直接求解方程（可能复杂且易出错），体现 “整体代入” 思想。

非负性应用：如\(a^2 + 4a + 4 + 2|b - 3| = 0\)，利用完全平方公式将\(a^2 + 4a + 4\)变形为\((a + 2)^2\)，结合 “平方数非负、绝对值非负” 的性质，得\(a + 2 = 0\)、\(b - 3 = 0\)，进而求解a、b的值，考查非负性的核心性质与公式变形。

（三）方程与代数式关系

二、几何板块

（一）三角形基础性质

三边关系：已知三角形两边长（如 2 和 5），求第三边c的取值范围，遵循 “两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，即\(5 - 2

内角和与外角性质：

内角和：如\(\triangle ABC\)中，\(AB = AD = DC\)，\(\angle C = 36^\circ\)，求\(\angle BAC\)，需利用 “等边对等角” 推导\(\angle DAC = \angle C = 36^\circ\)，再求\(\angle ADB\)（外角等于不相邻两内角和），进而推导\(\angle B = \angle ADB\)，最终得\(\angle BAC = 108^\circ\)。

外角性质：需注意 “三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和”，避免误记为 “等于两个内角之和”（忽略 “不相邻” 条件）。

等腰三角形与等边三角形：

等腰三角形顶角计算：已知一个角为\(20^\circ\)，需分 “该角为顶角” 和 “该角为底角” 两种情况，得顶角为\(20^\circ\)或\(140^\circ\)，考查分类讨论思想。

等边三角形性质：如边长为 4 的等边\(\triangle ABC\)，F为AC中点，得\(BF \perp AC\)（等边三角形三线合一），同时结合 “构造等边\(\triangle ADE\)” 考查全等三角形与等边三角形的综合应用。

（二）全等三角形

全等判定定理：包括 SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、HL（直角三角形斜边直角边），如第 6 题中，已知\(AB = BD\)，判断添加哪一条件（如\(AE = DC\)、\(DE = AC\)等）不能证明\(\triangle ABC \cong \triangle BDE\)，需逐一分析条件是否符合判定定理，排除能证明全等的选项。

全等应用：如证明\(AO = BO\)（第 22 题），先通过 HL 证明\(Rt\triangle ABD \cong Rt\triangle BAC\)，得\(\angle CAB = \angle DBA\)，再利用 “等角对等边” 得\(AO = BO\)，体现 “全等→等角→等边” 的逻辑链。

（三）三角形中的特殊线与点

特殊线：

高线：尺规作图作BC边上的高线AD（第 23 题），小婷的作法利用 “到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上”，证明BC垂直平分AE，进而得AD为高线；同时考查 “三线合一”（等腰三角形中，顶角平分线、底边上的中线、高线重合）的应用。

角平分线：到角两边距离相等的点在角平分线上（第 5 题正确命题），集贸市场到三条公路距离相等（第 7 题），即三条角平分线的交点（内心），区别于 “三边垂直平分线的交点（外心，到三个顶点距离相等）”“三条中线交点（重心，分中线比为 2:1）”“三条高线交点（垂心）”。

特殊点性质：内心（角平分线交点，到三边距离相等）、外心（垂直平分线交点，到三顶点距离相等）、重心、垂心的定义与区别，需结合实际问题（如集贸市场选址）准确识别。

（四）轴对称与坐标变换

轴对称图形判定：判断 2024 年巴黎奥运会运动项目示意图是否为轴对称图形（第 1 题），需依据 “沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合” 的定义，识别对称轴的存在性。

平面直角坐标系中的对称：

关于 x 轴对称：点\((x, y)\)对称后为\((x, -y)\)，如\((3, -2)\)关于 x 轴对称点为\((3, 2)\)（第 2 题）。

关于 y 轴对称：点\((x, y)\)对称后为\((-x, y)\)，如\(\triangle ABC\)与\(\triangle A_1B_1C_1\)关于 y 轴对称（第 21 题），需准确变换各顶点坐标，再画图。

最短路径问题：如 y 轴上找一点P，使\(\triangle PA_1B_2\)周长最短（第 21 题），利用 “轴对称转化”，将其中一个点关于 y 轴对称，连接对称点与另一个点，与 y 轴交点即为P，体现 “两点之间线段最短” 的应用。

（五）尺规作图

基础作图应用：作角平分线、垂直平分线、高线等，如第 23 题作BC边上的高线，需掌握尺规作图的基本步骤（以定点为圆心、定长为半径画弧，找交点等），并能结合几何定理证明作图的正确性。

作图痕迹识别：如判断哪一图形的尺规作图痕迹能证明AD平分\(\angle BAC\)（第 9 题），需熟悉角平分线作图的痕迹特征（如以角顶点为圆心画弧交两边，再分别以交点为圆心画弧，两弧交点与顶点连线为角平分线）。

三、综合与拓展板块

（一）几何综合题

（二）代数几何结合题

用两种方法表示图 2 中阴影部分面积（方法一：\((m - n)^2\)，方法二：\((m + n)^2 - 4mn\)），推导得\((m - n)^2 = (m + n)^2 - 4mn\)，建立代数公式与几何面积的联系。

利用该结论解决实际问题（如已知\(m + n = 7\)、\(mn = 6\)求\((m - n)^2\)，已知\((4 - x)(5 - x) = 6\)求\((9 - 2x)^2\)，已知正方形边长关系求阴影面积），体现 “数形结合” 思想。

小栗只挑战成功一个时，需计算各活动的 “消耗 π 币 + 奖励 π 币” 结果，只有 “九连环”（消耗 1 枚，奖励 5 枚，最终剩余\(1 - 1 + 5 = 5\)枚，符合 “只成功一个” 的剩余逻辑）符合条件。

挑战成功两个且第四个活动（魔方，奖励 4 枚）成功时，需列举另一成功活动的可能，计算最终剩余 π 币数量（如另一活动为 24 点，剩余\(1 - 2 + 4 + 0 = 3\)枚；为九连环，剩余\(1 - 2 + 4 + 5 = 8\)枚等），考查实际问题中的分类讨论与计算。

（四）附加题拓展

数表操作题（第 1 题）：根据 “某行 / 列和为负数则改变该行 / 列符号” 的规则，通过两次操作使数表每行每列和非负，需计算每行每列和，判断操作对象，同时结合不等式求实数a的取值范围（如表 2 中需满足两次操作后和非负，得\(a > 2\)）。

坐标系中的 “k 倍距离点”（第 2 题）：结合对称点（关于直线\(x = 2\)对称）、正方形边长，定义 “k 倍距离点”，需计算点到正方形各边的距离，根据 “最大距离 = k× 最小距离” 列方程或不等式，求解坐标或取值范围，考查新定义理解与坐标计算能力。

来源：国豪教育