摘要：数学结论的正确性，取决于公理的正确性，以及逻辑的严密性，因此数学和逻辑是密不可分的；但是，数学和逻辑又是完全独立的两门学问。

要谈推理思想，不能脱开逻辑去谈推理，这也就算作推理的前传性文字吧；首先我们谈谈数学和逻辑这两者之间的关系。

数学结论的正确性，取决于公理的正确性，以及逻辑的严密性，因此数学和逻辑是密不可分的；但是，数学和逻辑又是完全独立的两门学问。

一谈数学，就要谈逻辑；谈逻辑，好像也就自觉不自觉地会用数学做例子。到底这两位，谁是谁的“老板”？

说个大家都熟悉的职场场景，来打个比方：

逻辑像数学界的HR总监：制定招聘标准（公理）、设计考核流程（证明），但自己从不下场算数。数学像创业公司CEO：用逻辑的规则手册疯狂造火箭（公式），偶尔掀桌子重写规则（非欧几何）。

不过更多的不是谁是谁的“老板”的问题，二者更多的是理性世界里“史密斯夫妇”般的合作模式。

电影《史密斯夫妇》中，夫妻俩白天扮演普通中产，夜晚化身顶尖杀手——数学与逻辑的配合模式与此高度同构。

白天：数学用逻辑的规则写证明，像朱莉在按菜谱做饭；

夜晚：数学突然掏出非欧几何/无穷集合，如同约翰·史密斯从烤箱里抽出火箭筒。

这个时候，你再按照这部电影的风格给些台词：

数学：“你以为我只会解方程？”，同时撕掉欧氏几何的外衣，露出双曲空间的紧身衣；

逻辑：“我早该想到…你的公理系统里藏着武器库！”

的确有点塑料友情：表面岁月静好，背地互扯头花。

逻辑是人类理性的体现，而且对于逻辑与数学这两者，一般是逻辑搭台，数学唱戏。

首先我们看看有“数学宇宙”第一性原理之称呼的逻辑最基础逻辑的“三原则”，也可以称为宇宙“防杠精”法则：

（1）同一律（Law of Identity）

（2）矛盾律（Law of Non-Contradiction）

（3）排中律（Law of Excluded Middle）

这是数学大厦的地基深处，三条不可撼动的定律，就像宇宙物理常数般支配着所有推理的合法性。这不是枯燥的教条，而是人类用理性对抗混沌的终极武器。

1. 同一律（Law of Identity）最硬核的“身份证制度”

定义：A ≡ A ；A就是A，别整虚的！任何事物是它本身，不是别的事物。任何命题在推理过程中必须保持自身的同一。

就如在直播中的美颜，让亲爹都感觉有些怀疑，这到底是不是我家孩子，这个爹的内心在本质上在是喊：“根据同一律，直播中的这个孩子和我孩子相似度不足！”

妈妈在逼孩子相亲时说：“找个像王一博的就行”；那么请问是找会骑摩托的？还是面瘫的？或是会唱《无感》的？

这句话如果用到我们每一个人身上就是：我就是独一无二的我，是人间不一样的烟火。

当杠精说：因为细胞都更新了，今天的你已不是昨天的你。这时候就违反了同一律，其实一个人也罢，一艘船也罢，只要“功能结构”不变，人还是那个人，船还是那艘船。

人有些时候偷换概念是不自觉的，也有些是故意让我们搞不清楚，造成了自己头脑的混乱，把一个个体和一个集合等价起来，以偏概全。

有些人把自己从股票市场得来的亏钱的经验，就当成全部，会说：“股市都是骗局”；再如，我们比较熟悉的一个广告“果冻就是***”，这里不写全了，免得又广告之嫌。这都是违反同一律。

当年，有“杠精”之称的芝诺说，“飞行的箭在每一瞬间都静止”，即飞矢不动，让我们觉得这个胡搅蛮缠的理论时，芝诺就偷换了“运动”的概念。

芝诺将连续过程强行切片为离散状态，违反同一律对概念一致性的要求。不过，这可是曾经但当时的人们，对这个问题就无法很好的进行回答，直到微积分的出现，并且是经过柯西等人完善后的现代微积分的概念，用了极限的概念才将芝诺提出的“箭矢不动”悖论彻底破解，其本质上是通过严格定义“瞬时速度”来修复逻辑断层。

2. 矛盾律（Law of Non-Contradiction）：真理的排他性宣言

我们在生活中，我们常会说我们来看分析下这个问题，其实更多的是用数学来考量，发现问题。数学思维中的利器：矛盾律，就可以很容易地发现问题，毕竟一个事物不能既有A属性，又没有A属性。

比如一个数字，它既不能同时是奇数，又是偶数，如果是，这就违背了矛盾律。

确切的定义：¬(A ∧ ¬A)；即：命题与它的否定不能同时为真。

这个定律给我们的建议就是，日常做人还是实事求是的好，别想既当又立！如果要说话，要么逻辑自洽，要么就闭嘴。

这个定律是如此重要，以至于1901年罗素在提出有关康托尔集合论的一个悖论“所有不包含自身的集合组成的集合是否包含自身？”就动摇了康托尔集合论的根基，由此还引发了数学的第三次危机。

说起来这个悖论，对于集合知道不多的朋友可能会不太明白，还有一个比较浅显的版本就是：一个理发师只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子，那么他给不给自己刮胡子呢？

关于康托尔集合论的悖论，使得康托尔集合论（类似数学界的宪法就这样悄没声地被撕碎，希尔伯特连夜修改“数学公理化计划”，哥德尔补刀发布“不完备定理”，说明：证明有些真理永远无法被证实。

策梅洛、弗兰克尔等人用ZF公理系统重建集合论，即就是通过限制集合的定义域来规避逻辑矛盾。才让数学绝地求生，很好的化解了这次数学危机。不过，时至今日，程序员写if条件时，都在无意识避开罗素设的语法陷阱。

3. 排中律（Law of Excluded Middle）：二进制的神性光辉

关于排中律：“要么真！要么假”。

公元前399年，雅典法庭给苏格拉底出题：选项A：放弃哲学可得活；选项B：坚持真理，只能死。老苏选择了B，用生命践行"不妥协的二元抉择"——这就是排中律哲学的初代应用。

再看个简单的排中律现实案例：就像你妈怒吼：“这垃 圾是现在立刻去扔了还是不去？别跟我说‘等会儿’！”——在排中律的宇宙里，没有“等等再说”的逃生通道。

如现代法庭判决一个被告或者嫌疑人：法官要么确认证据证明该被告或者嫌疑人有罪，送进监狱服刑坐牢；要么无法证明有罪，需要当庭释放被告或者嫌疑人；法官绝对不能说：“被告或者嫌疑人大概有35%的犯罪概率”。

但现实不那么绝对，非真即假，或者非黑即白。比如你用排中律拆解“不爱我就去死”= 要么选变态，要么选违法，这在现实中无论哪个结果我们都是无法接受的，其实，很多时候，出现第三、第四态非常常见。

比如：追着女孩子问“你喜欢我吗？”，问的别人不耐烦了，可能触发“你是个好人……”的第三态；

你老妈问：“我和你女朋友掉水里…”这个时候，你如果还坚持你所谓的逻辑排中律，这个诡雷你是踩定了，也是会被炸的碎碎的

对于这个认识比较深刻的人，就需要继续谈谈作为分析哲学奠基人的罗素。

他把哲学从"形而上"云端拽进逻辑实验室，与怀特海合著的《数学原理》堪称人类智商的天花板。他更是和平主义代言人，因反战蹲过英国监狱，晚年，具体而言就是94岁高龄还用肉身拦截核试验军舰，硬核程度让当代社畜瑟瑟发抖，是街头反核的朋克老祖。

咱们不谈他写《西方哲学史》赚稿费养情妇，结果写成传世经典的事情；更不会去八卦地展开聊他四次婚姻，践行开放式关系，前卫程度让海王沉默等。

就说下他的一句让我感触极深的名言："不要因为工作而工作"——这句名言堪称是最早的躺平宣言。

他更是坦言："三种单纯而强烈的激情支配着我：对爱的渴望，对知识的追求，对人类苦难不可遏制的同情。"他是20世纪，用数学公式推导爱情，拿哲学奖杯装红酒，把杠精精神升华成人类智慧，最终修炼成20世纪思想界的灭霸级存在的人物。

不过他指出：“数学是这样一门学科，我们永远不知道自己在说什么，也不知道说的是不是真的。”

所有数学定理都建立在几个最基础的“公理”上（比如几何的平行公理）。罗素认为数学大厦的地基（公理）可能不靠谱，就像用"可能漏水"的水泥盖楼——这和逻辑的"非黑即白"法则（排中律）冲突，同时，这些地基可能是空中楼阁——就像你用“我相信这栋楼不会塌”当建房理由，细想挺吓人的。

当问题涉及"所有数学规则本身"时（比如"这句话不可证明"），就会出现：说它真，系统崩；说它假，系统也崩；排中律卒于当场。

后来的贝叶斯定理带着“可能”、“也许”来了，量子物理薛定谔的猫等排队也登场了，这就让逻辑中排中律极其没有面子，就算一个简单的天气预报，说“降水概率70%”，逻辑都会当场死机。

他第一个在《数学原理》构建精密体系，既证明了排中律的强大，又亲手埋下了颠覆它的种子，即：罗素悖论引出哥德尔定理。对数学简而言之，哪怕数学家写出最完美的规则手册，也永远存在“规则解释不了的漏洞”。

“哥德尔定理“：

“第一定理：任何包含初等算术的一致形式系统，必定存在既不能证明也不能证伪的命题。

第二定理：这样的系统无法用自身规则证明自己不会自相矛盾。

对数学而言，哪怕数学家写出最完美的规则手册，也永远存在“规则解释不了的漏洞”。也让数学家希尔伯特想用一套公理解决所有问题，打造“终极数学真理机器”的数学终极幻想破灭。

打破对“绝对真理”崇拜，还原科学本质是持续进化的猜想这个朴素的基本道理上来。

套用一句经典的话语来结束：人类既是逻辑的君王，又是哥德尔监狱的终身囚徒。

至此，逻辑种非常核心的三大定律就介绍完毕。很多朋友问，今日之时，这还有用吗？

非常有用！

在这个信息爆炸的时代，逻辑三定律就是你大脑的杀毒软件、谣言粉碎机的核心引擎。

当你在抖音刷到“X个颠覆三观的冷知识”时，记住：别被标题党带跑偏，这时候同一律会守护你的认知锚点；你在看到的知识中发现漏洞直接开怼，这就是矛盾律在武装我们的批判思维；我们会快速决定点赞or划走，从来不磨叽，这背后是排中律在训练你的决策速度。这个三个定律，成为我们听到信息时，谣言的过滤器、也是吃瓜时的反转预警器、如果你去相亲也会是你智商的防御塔。

正如维特根斯坦所说：

“逻辑不是理论的侍女，而是世界的脚手架。”

记住罗翔老师的话：“法律是道德的最低标准，而逻辑是智商的最低防线。”

我在第一篇文章开篇中所言：数学题目数量之巨，无论如何努力都不能穷尽，这就显示出数学思想在数学学习中的重要性。个人大学就读数学专业数年的学习，以及毕业后在高校数十年从事工作多多少少都持续和数学教学、数学解题相关；在做事中也是深受数学影响，对于数学思想也有一些认识和理解，对吴军老师所言甚是赞同：

“有人问我，是否通过学习数学提高了见识水平?公平地讲，很难找到某一个数学知识点，学了之后让见识马上提升，这种直接产生效果的知识我是没有遇到。但是通过学习一些数学知识和方法，帮助我形成了系统的做事方法，并且改进了看待世界的角度，这却不是虚言。”

希望我们通过数学的思想、知识、方法，一起形成一套系统的做事方法，改进我们看待世界的角度，让我们在这个充满变化和不确定的世界里，能多一份从容和淡定。

最后，感谢阅读文字的朋友们温润如玉的留言鼓励、和情真意切发自内心的支持，这是我将这个系列内容在工作间歇、早起上班之前进行输出的巨大动力，再次感谢各位用心阅读和留言的朋友们！

与皮爸一起学习，拥抱进步的快乐！

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来源：斌弟谈理科学习