摘要：它把量子多体问题降维成一个单粒子波函数 ψ(r,t) 的运动方程，因而成为冷原子物理、玻色–爱因斯坦凝聚（BEC）研究的核心工具。

Gross–Pitaevskii 方程（GPE）是描述弱相互作用玻色气体在低温极限下行为的非线性薛定谔方程。

它把量子多体问题降维成一个单粒子波函数 ψ(r,t) 的运动方程，因而成为冷原子物理、玻色–爱因斯坦凝聚（BEC）研究的核心工具。

“把 N 个弱相互作用玻色子挤成一个宏观波函数 ψ”的最简单而又最有效的量子场论平均场描述，它用一条非线性薛定谔方程囊括了凝聚体的密度、相位、超流动力学与拓扑激发。

下面按“物理背景 → 数学形式 → 推导思路 → 物理意义 → 典型解 → 现代扩展”六个层次展开。

1. 物理背景

体系：N 个全同玻色子，温度 T≈0，相互作用弱（散射长度 a≪ 平均粒子间距 n^{-1/3}）。

关键假设：几乎所有粒子都处于同一单粒子态（宏观占据），可引入“序参量”ψ(r,t) 作为 BEC 的复标量序参量。

作用：把 N-体问题化为“平均场”问题，计算凝聚体的密度 n=|ψ|²、相位 S=arg ψ 与流场 v=ℏ∇S/m。

2. 数学形式（三维，无外势时）

标准形式 对零温弱相互作用玻色气体（BEC 的典型描述）

iℏ ∂ψ/∂t = [−ℏ²∇²/2m + g |ψ|²] ψ, g = 4πℏ²a/m > 0（排斥）

非线性项 g|ψ|²：反映粒子间相互作用势能，正比于局域密度 n。

粒子数守恒：∫|ψ|²dτ = N。

含外势 V_ext(r,t) 的一般式：

iℏ ∂ψ/∂t = [−ℏ²∇²/2m + V_ext + g |ψ|²] ψ

无量纲化（常用）：

i∂ψ/∂t = [−½∇² + V + β|ψ|²] ψ，其中 β = 4πaN/L（L 为特征长度）。

3. 微观推导思路

(1) 从二次量子化哈密顿量出发：

Ĥ = ∫ d³r ψ̂†[−ℏ²∇²/2m + V_ext]ψ̂ + ½g ∫ d³r ψ̂†ψ̂†ψ̂ψ̂

(2) 取平均场近似：将场算符 ψ̂ 替换为 c-数序参量 ψ（Bogoliubov 替换 ψ̂ → ψ + δψ̂，并忽略涨落 δψ̂）。

(3) 对 ψ 做变分 δ⟨Ĥ⟩/δψ = 0，得到含时的欧拉–拉格朗日方程 ⇒ GPE。

(4) 静态情形（∂ψ/∂t=0）对应能量泛函

E[ψ] = ∫ [ℏ²|∇ψ|²/2m + V_ext|ψ|² + ½g|ψ|⁴] d³r

的极值，即定态 GPE（又称 stationary GPE）。

4. 物理意义与守恒量

连续性方程：∂n/∂t + ∇·(n v)=0，其中 v = ℏ∇S/m；保证粒子数守恒。

能量守恒：dE/dt = 0。

量子压力（ℏ²∇²/2m）与相互作用（g|ψ|²）的竞争决定凝聚体形状：

若 g>0（排斥），凝聚体倾向于均匀分布或形成 Thomas–Fermi 抛物线密度。

若 g

5. 典型解析解

(1) 均匀系统平面波：ψ(r,t)=√n₀ e^{ik·r−iμt/ℏ}, μ = g n₀（化学势）。

(2) 暗孤子（dark soliton，1D，g>0）：

一维 Gross–Pitaevskii 方程（无量纲化后）的 暗孤子（dark-soliton） 单孤子解

ψ(x,t)=√n₀ [i v_s + √{1−v_s²} tanh(√{1−v_s²}(x−v_s t)/ξ)] e^{−iμt/ℏ}

其中 ξ = ℏ/√{m g n₀} 为愈合长度，v_s 为孤子速度。

(3) 亮孤子（bright soliton，1D，g

ψ(x,t)=√{n₀} sech(x/ξ) e^{−iμt/ℏ}，ξ = ℏ/√{m|g|n₀}。

(4) 涡旋（2D/3D）：

ψ(r,θ,z)=√n(r) e^{iℓθ}，ℓ∈ℤ 为拓扑荷，核心半径 ξ。

6. 现代扩展与前沿

旋量 BEC：ψ 变为多分量旋量 (ψ↑, ψ_0, ψ↓)，耦合自旋交换相互作用 ⇒ spinor GPE。

光晶格势：V_ext 为周期势 ⇒ Bose–Hubbard 到 GPE 的跨流形描述。

耗散/增益：加入复势或 phenomenological 阻尼项 iℏ∂ψ/∂t = … − iγψ/2，研究非平衡稳态。

低维效应：准 1D/2D 系统中超越平均场的 LHY 修正（Lee–Huang–Yang），需修正 g → g_eff(n)。

动力学不稳定性、量子涡旋晶格、超流–Mott 绝缘体量子相变等现代实验热点均以 GPE 为起点。

来源：小王说科学