摘要：图中△ABC是等边三角形，已知PA，PB，PC分别等于4，5，3，第一问求等边三角形边长？第二问求三角形△PAB的面积？

我们来看一道初中几何压轴题。题目呈现如下图所示：

图中△ABC是等边三角形，已知PA，PB，PC分别等于4，5，3，第一问求等边三角形边长？第二问求三角形△PAB的面积？

第一问很关键，求出等边三角形边长，也就能够得到等边三角形的面积和高。

解题技巧在于构造辅助图形。以PC为边，向下方构造一个边长为3的等边三角形。再连接AF，利用SAS证明三角形全等，从而证明三角形PAF是直角三角形。最后把三角形PAC补成直角三角形，用勾股定理算出AC，就完成第一问。

过程如下图所示：

第一问的答案是一个双重根号的无理数：根号下25+12倍√3.

第二问求三角形PAB的面积，考虑用秦九韶公式的变式来计算。

已知三边求面积，一般而言用海伦公式。但是等边三角形ABC的边长a是无理数，用海伦公式不方便计算，所以我们用秦九韶公式。传统的秦九韶公式的被开方数含有分母，我们去分母后就得到如图所示的秦九韶公式的变式。

计算过程如下图所示：

第一行是不含分母的已知三边求三角形的面积的秦九韶公式的变式。

把数据a=4，b=5，c=根号下25+12√3，代入公式计算得到答案。

所求三角形PAB的面积为3+4√3平方厘米。

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上图所示的三角形PBC就是我们的第二问△PAB。

视频链接如下：

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本题的难点在于构造辅助图形。构造出一个等边三角形和两个直角三角形后，局势就豁然开朗，从山重水复疑无路，摇身一变为柳暗花明又一村。

最后顺便说一下等边三角形求高和求面积的公式。请看下图：

从sin60°=2分之√3，很容易推导出上图所示的两个公式。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。

来源：含含课堂