狄拉克——量子时代的自教者

摘要：“说英雄谁是英雄？索末菲帐下众侠，玻恩派门内群英，狄拉克天降孤星。大道晦涩，自教者明。

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说英雄谁是英雄？索末菲帐下众侠，玻恩派门内群英，狄拉克天降孤星。

大道晦涩，自教者明。

”摘要狄拉克是量子力学奠基人中非常独特的一位，凭借一系列重要成就把自己塑造成了人类第一个量子力学博士。狄拉克1925年跟上矩阵力学的发展得到了量子力学基本方程，1926年跟上波动力学的发展得到了狄拉克统计，1928年得到了让其不朽的相对论量子力学方程，后来基于此方程提出了反粒子的概念，此外他还系统地发展了量子力学表示理论。狄拉克的《量子力学原理》一书是量子力学表述的经典，是一本不可多得的关于如何创造物理的教科书。关键词 量子微分，量子力学，相对论量子力学，表示理论，对易关系，狄拉克δ-函数，产生—湮灭算符，Bra-ket记号，矩阵力学，波动力学，电磁场量子化，变换理论，反电子，反质子，狄拉克统计，磁极量子0 EigenTutor狄拉克狄拉克是量子力学奠基者中贡献颇著且个人魅力非常独特的一位，谈论量子力学绕不过狄拉克。狄拉克被誉为麦克斯韦之后不列颠最伟大的理论物理学家。然而，谈论狄拉克极不容易。为了更好地描述狄拉克其人其事，请允许我先造一个字，Eigentutor(自教者)。我是基于Eigenwert(本征值)和MacTutor(大导师)这两个词造的Eigentutor这个词。Eigenwert是“线的代数”这门学科的关键词，它可以说是量子力学的代名词(请记住薛定谔1926年创立波动力学的那篇文章的题目，Quantisierung als Eigenwertproblem)，而MacTutor指的是学问极大的导师。如果门下的学生也是大师级的，这样的导师可以称为MacTutor of Maestros(大师的大导师)，量子论的奠基人索末菲和量子力学的奠基人玻恩都是MacTutor of Maestros。狄拉克凭借自己参与创造量子力学的成就(没有导师Ralph Fowler的参与)成为了人类的第一个量子力学博士，其1926年的博士论文题目就是简单的两个字：Quantum mechanics(图1)。{这个博士论文的题目让我想起《舌尖上的中国》那句著名的解说词：高端的食材往往只需要最简单的烹饪方式}。狄拉克显然是一个EigenTutor，如果嫌EigenTutor不足以表达狄拉克自教的成就之高，那就用EigenMacTutor一词好了。

图1 狄拉克申请博士学位的手写论文真正的成大学问者，Eigentutelage(自我指导)是必须的。一个人如果学习上指望老师，那这个社会是指望不上他了。狄拉克(Paul Adrien Maurice Dirac，1902—1984)是英国数学家和理论物理学家，父亲是来自瑞士的移民，在英国教法语，母亲是英国人。狄拉克1921年在布里斯托大学获电机工程专业学士学位，因为获得的70磅的奖学金不足以支持在剑桥的费用，故狄拉克接着在布里斯托大学免费学习，于1923年获得数学学士学位(这一点对于理解狄拉克的成就太重要了)。因为成绩优异，狄拉克又获得了一笔140磅的奖学金，于是狄拉克到剑桥的圣约翰学院继续学习广义相对论(相对论一直是狄拉克学问的底色)。狄拉克1924年发表第一篇研究论文(研究玻尔条件的，收稿日期为7月14日)，于1926年凭借量子力学研究成果获得博士学位。1 狄拉克的量子力学著述狄拉克在量子力学方面的专著包括如下五种：(1) P. A. M. Dirac,The Principles of Quantum Mechanics, Cambridge University Press (1930).(2) P. A. M. Dirac,Spinors in Hilbert Space, Plenum Press (1974).(3) P. A. M. Dirac,Lectures on Quantum Mechanics, Yeshiva University (1964).(4) P. A. M. Dirac,Lectures on Quantum Field Theory, Yeshiva University (1966).(5) P. A. M. Dirac,Aspects of Quantum Theory, Cambridge University Press (1972).

《量子力学原理》一书1930年出版，狄拉克时年28岁。这也是狄拉克人生的第一本著作。该书在1935年出版了几乎重写的第二版，1947年的第三版采用了bra-ket记号，在1958年出了第四版后不再有改版(1967年出了第四版的修订本)，至今被译成了各种不同的语言在世界传播(图2)。狄拉克的《量子力学原理》生动地诠释了什么是“出道即巅峰”。虽然这本书因狄拉克特别在意自创量子力学的表示理论而特别晦涩难懂(笔者个人的感觉)，但对于后世的量子力学学习者来说，它一直是绕过不去的坎儿。汲取其中的知识营养，将其用于促进人类文明的进步，是对知识创造者最大的尊重。

图2 The Principles of Quantum Mechanics , 1930

狄拉克自1924年起发表的量子力学方面的论文罗列如下：

(1) P. A. M. Dirac, Note on the Doppler principle and Bohr’s frequency condition,Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 22(3), 432—433 (1924).(2) P. A. M. Dirac, The adiabatic invariance of the quantum integrals,Proceedings of the Royal Society of LondonA107(744), 725—734 (1925).(3) P. A. M. Dirac, The conditions for statistical equilibrium between atoms, electrons and radiation, Proceedings of the Royal Society of LondonA106 (739), 581—596(1925).(4) P. A. M. Dirac, The fundamental equations of quantum mechanics,Proceedings of the Royal Society of LondonA109(752), 642—653 (1925).(5) P. A. M. Dirac, The elimination of the nodes in quantum mechanics,A111(757), 281—305 (1926).(6) P. A. M. Dirac, On quantum algebra.Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society23(4), 412—418 (1926).(7) P. A. M. Dirac, Quantum mechanics and a preliminary investigation of the hydrogen atom, Proceedings of the Royal Society of LondonA110 (755), 561—579 (1926).(8) P. A. M. Dirac, Relativity quantum mechanics with an application to Compton scattering, A111(758), 405—423 (1926).(9) P. A. M. Dirac, On the theory of quantum mechanics,Proceedings of the Royal Society of LondonA112(762), 661—667 (1926).(10) P. A. M. Dirac, The Compton effect in wave mechanics,Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society23(5), 500—507(1927).(11) P. A. M. Dirac, The physical interpretation of the quantum dynamics,Proceedings of the Royal Society of LondonA113(765), 621—641 (1927).(12) P. A. M. Dirac, The quantum theory of dispersion,Proceedings of the Royal Society of LondonA114 (769), 710—728 (1927).(13) P. A. M. Dirac, The quantum theory of the emission and absorption of radiation,Proceedings of the Royal Society of LondonA114(767), 243—265(1927).(14) P. A. M. Dirac, Über die Quantenmechanik der Stoßvorgänge ( 论碰撞过程的量子力学), Zeitschrift für Physik44, 585—595 (1927).(15) P. A. M. Dirac, The quantum theory of the electron,Proceedings of the Royal Society of London A117(778), 610—624 (1928); II, A118(779), 351—361 (1928).(16) P. A. M. Dirac, Über die Quantentheorie des Elektrons (论电子的量子理论),Physikalische Zeitschrift29, 561—563 (1928).(17) P. A. M. Dirac, The basis of statistical quantum mechanics,Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society25(1), 62—66(1929).(18) P. A. M. Dirac, Quantum mechanics of many electron systems,Proceedings of the Royal Society of LondonA123(792),714—733 (1929).(19) P. A. M. Dirac, Note on exchange phenomena in the Thomas atom,Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society26(3), 376—385(1930).(20) P. A. M. Dirac, Note on the interpretation of the density matrix in the many-electron problem, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society27(2), 240—243 (1930).(21) P. A. M. Dirac, On the annihilation of electrons and protons,Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society26(3), 361—375 (1930).(22) P. A. M. Dirac, The proton,Nature126(3181), 605—606 (1930).(23) P. A. M. Dirac, A theory of electrons and protons,Proceedings of the Royal Society of London A126 (801), 360—365 (1930).(24) P. A. M. Dirac, Quantised singularities in the electromagnetic field,Proceedings of the Royal Society of LondonA133(821), 60—72 (1931).(25) P. A. M. Dirac, Relativistic quantum mechanics,A136(829), 453—464 (1932).(26) P. A. M. Dirac, The Lagrangian in quantum mechanics,Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion 3(1), 64—72 (1933).(27) P. A. M. Dirac, Statement of a problem in quantum mechanics,Journal of the London Mathematical Society8, 274—277 (1933).(28) P. A. M. Dirac, Homogeneous variables in classical dynamics,Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society29(3), 389—400(1933).(29) P. A. M. Dirac, Discussion of the infinite distribution of electrons in the theory of the positron, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society30(2), 150—163 (1934).(30) P. A. M. Dirac, The electron wave equation in de Sitter space,Annals of Mathematics36(3), 657—669 (1935).(31) P. A. M. Dirac, Does conservation of energy hold in atomic processes?Nature137(3460), 298—299 (1936).(32) P. A. M. Dirac, Relativistic wave equations, Proceedings of the Royal Society of LondonA155(886), 447—459 (1936).(33) P. A. M. Dirac, Wave equations in conformal space,Annals of Mathematics37(2), 429—442 (1936).(34) P. A. M. Dirac, Complex variables in quantum mechanics,Proceedings of the Royal Society of LondonA160(900), 48—59 (1937).(35) P. A. M. Dirac, The reversal operator in quantum mechanics，Izv. Akad. Nauk. SSSR, 4-5，569—575 (English), 576—582 (Russian) (1937).(36) P. A. M. Dirac，Classical theory of radiating electrons,Proceedings of the Royal Society of LondonA167(929), 148—169 (1938).(37) P. A. M. Dirac, La théorie de l’électron et du champ électromagnétique (电子的与电磁场的理论),Annales de l’Institut Henri Poincaré9(2), 13—49 (1939).(38) P. A. M. Dirac, A new notation for quantum mechanics,Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society35(3), 416—418 (1939).(39) P. A. M. Dirac, The relation between mathematics and physics,Proceedings of the Royal Society of Edinburgh59, 122—129 (1939).(40) P. A. M. Dirac, The physical interpretation of quantum mechanics,Proceedings of the Royal Society of LondonA180(980), 1—40 (1942).(41) Paul A. M. Dirac, Quantum electrodynamics, Communications of the Dublin Institute for Advanced StudiesA1943(1), 1—36 (1943).(42) P. A. M. Dirac, On the analogy between classical and quantum mechanics,Reviews of Modern Physics17(2-3),195—199 (1945).(43) P. A. M. Dirac, Application of quaternions to Lorentz transformations,Proceedings of the Royal Irish AcademyA50, 261—270 (1945).(44) P. A. M. Dirac, Unitary representations of the Lorentz group,Proceedings of the Royal Society of LondonA183(994), 284—295 (1945).(45) P. A. M. Dirac, Developments in quantum electrodynamics,Communications of the Dublin Institute for Advanced StudiesA1946(1), 3—33 (1946).(46) P. A. M. Dirac, Magnetic poles,Physics Today1(7), 26, November (1948).(47) P. A. M. Dirac， On the theory of point electrons,Philosophical Magazine39, 31—34 (1948).(48) P. A. M. Dirac, Quantum theory of localizable dynamical systems,Physical Review73(8), 1092—1103 (1948).(49) P. A. M. Dirac, The theory of magnetic poles,Physical Review74(7), 817—830 (1948).(50) P.A. M. Dirac, Forms of relativistic dynamics, Reviews of Modern Physics21(3), 392—399 (1949).(51) P. A. M. Dirac, La seconde quantication (二次量子化),Annales de l'Institut Henri Poincaré11(1), 15—47 (1949).(52) P. A. M. Dirac, The relation of classical to quantum mechanics,Proceedings of the Second Canadian Mathematics Congress, 10—31(1949).(53) P. A. M. Dirac, Generalized Hamiltonian dynamics,Canadian Journal of Mathematics2, 129—148 (1950).(54) P. A. M. Dirac, The Hamiltonian form of field dynamics,3, 1—23 (1951).(55) P. A. M. Dirac, Quantum mechanics and the aether,The Scientific Monthly78(3), 142—146(1954).(56) P. A. M. Dirac, Note on the use of nonorthogonal wave functions in perturbation calculations,Canadian Journal of Physics33(12),709—712(1955).(57) P. A. M. Dirac, Equivalence of the Schrödinger and Heisenberg pictures,Nature204(4960), 772 (1964).(58) P. A. M. Dirac, Foundations of quantum mechanics,Nature203(4941),115—116 (1964).(59) P. A. M. Dirac, Hamiltonian methods and quantum mechanics,Proceedings of the Royal Irish AcademyA63, 49—59 (1964).(60) P. A. M. Dirac, A positive-energy relativistic wave equation,Proceedings of the Royal Society of LondonA322(1551), 435—445 (1971); II, A328(1572), 1—7 (1972).(61) P. A. M. Dirac, Relativity and quantum mechanics,Fields and Quanta3, 139—164 (1972).(62) P. A. M. Dirac, Fundamental equations of quantum mechanics,Uspekhi Fizicheskikh Nauk122(8), 611—621 (1977).(63) P. A. M. Dirac, The relativistic electron wave equation,Europhysics News8(10), 1—4(1977).此不完全统计只收录狄拉克的明显是关于量子力学的期刊文章，关于量子场论和量子电动力学的文章以及出现在他人编辑之单行本中的文章未收入。狄拉克是个很羞涩的人，上述63篇文章的总作者数为63；在其他署名狄拉克的文章与书籍中，狄拉克也都是唯一作者，完全避免了在别人文章上署名的嫌疑。与狄拉克相比，钱钟书所谓“大抵学问是荒江野老屋中二三素心人商量培养之事”一句中的素心人就显得猥琐了些。此外，狄拉克还有两篇文章是法文的，两篇是德文的，其中的“论碰撞过程的量子力学”一文与玻恩1926的文章同名。从以上简单的文献罗列中，读者对狄拉克对量子力学贡献之钜可能都多少有点儿感觉了。狄拉克还一直讲授量子力学，当然会基于他自己的发现与著述。J.C.Polkinghorne回忆当年狄拉克在剑桥讲量子力学(图3)，访问学者们都会把直接从创造者口中听到量子理论的讲述(hear an account of quantum theory “straight from the horse’s mouth”)当成在剑桥最重要的经历。据信狄拉克关于量子力学的讲述会表明清晰优雅的数学思考是理解物理世界之结构的关键(…clear and elegant mathematical thinking was the key to the understanding of the structure of the physical world)。

图3 狄拉克讲述量子力学

2 狄拉克量子力学成就盘点2.1 量子力学基本方程狄拉克1925年的The fundamental equations of quantum mechanics一文是对海森堡1925年文章(误传为矩阵力学的第一篇)的响应，这大概是他人生的第四篇论文。狄拉克的这篇文章对矩阵力学的确立不可或缺，应该这样评价的另一篇是泡利的用矩阵力学解氢原子问题的文章。狄拉克的这篇文章在本系列论矩阵力学的文章中简单提及过。海森堡的文章指出不是经典力学的方程有错，而是从方程得到物理结果的数学操作需要改变。经典力学是这么干的。考察一个u自由度的力学系统，假设坐标表示成多重傅里叶级数的形式：

其中第二个等式是符号简记。把这个表达代入运动方程，令两侧的任一简谐项的系数相等，得到的方程暂且称为“A-方程”，其解不是唯一的。振幅和频率可以表示为u个运动常数k1ku 的函数。每一个αxαk按照海森堡的提议，量子理论的解是这样的。iωt的简谐分量表示，振幅和频率都用两组数表示，记为x(nm)和ω(nm)。对应此前的，但是k 不知道该如何表示，它不能是单个n，m的函数。量子解是互锁的，必须当作一个整体看待。按照海森堡的色散条件ω(nm)+ω(mk)=ω(nk)，容易得到频率条件，ω(nm)=Ω(n)-Ω(m)。狄拉克管Ω(n)叫做frequency levels(频率阶梯，频级)。从经典的乘法关系：

=aαkbβk。对应的量子玩法可以是：

应有关系ab(nk)=a(nm)b(mk)，这就是矩阵乘法。运动方程不足以解决量子问题。在经典理论中，会选择∂E/∂r为作用变量{action variable。参见经典力学的actionangle variables理论}。接下来要做的是找到相应的量子条件，其对应这个方程。在文章的第三节中，根据经典微分

，现在要构造量子微分

。根据第一个条件，这个微分必是x的线性函数，记为

{原文如此。应为}，其中系数a 依赖于四个整数指标。根据第二个条件，这意味着：

比较两边同类项系数，发现结果可约化为

。这意思是，对某个量子变量的微分可表示为与另一量子变量的对易式。当a为常数，只有对角项不为0，则

。如取ia(mm)=Ω(m)，则有

。这是关于t 的量子微分。{笔者以为，这是量子力学教科书不该遗漏的一环。前提是量子力学的线性结构，这是狄拉克在表述量子力学时一再强调的关键事实。许多量子力学教科书照抄一些量子力学方程，连方程中符号的意义都没交代清楚}。xακ，其中κr=+α)h，两者等价。{看不懂这地方的读者可参照海森堡1925年的文章和此文章的前半部分仔细体会。}

，其中/2π是角变量。这样，(xy-yx)的(nm)分量在经典理论中对应：

也就是(xy-yx)对应：

如果令

ss]=δrsp=iℏδ。

这里用到了所谓与经典情形的对应，在后来的正经量子科学家那里引起了不少误解。如同预防针似的，狄拉克写道：“The correspondence between the quantum and classical theories lies not so much in the limiting agreement whenh→ 0 as in the fact that the mathematical operations on the two theories obey in many cases the same laws”。1925年，狄拉克就清清楚楚地提醒了，而100年后仍能看到有人在谈论什么经典力学是量子理论取极限h→0后应有的结果。

提醒一句，看懂这一节需要经典力学的作用——角变量、摄动论部分的知识(拉格朗日就是在研究这个问题注意到一类特殊括号意义的，写出了拉格朗日括号，1809年泊松提出了泊松括号)，海森堡论文中的色散关系与傅里叶变换，当然还有狄拉克所作的近似。愚以为，可以理解为狄拉克就是想建立起ξη-ηξ 的量子表达式。

在《量子力学原理》一书中，狄拉克提供了关于对易式的另一种推导。假设量子泊松括号(quantum P. B. )满足泊松括号所有的条件，这些条件足以唯一地决定量子泊松括号的形式，只是要注意因子的顺序。用两种不同路径计算括号，两者相等，得：

111111]，(u2v2-v2u2)=iℏ[u2, v2]。系数ℏ满足了等式对量纲的要求，而i就是量子力学中ξη-ηξ形式的关系所要求的。这样，对任意的两个变量u, v，量子泊松括号[u, v]满足关系：

(uv-vu)=iℏ[uv].

狄拉克假设量子泊松括号和经典泊松括号取值相同，即对坐标和动量，有括号[ss]=δrs。于是得到关于坐标和动量之间的关系：

此为fundamental quantum conditions。基本量子条件以及关系(uv-vu)=iℏ[u, v]提供了类比经典力学与量子力学的基础。这是构造量子力学的方法论基础。

在第五节中，狄拉克要推导一些独立于量子条件假设的结果。经典运动方程为，，在量子论中也可以要求其成立。对任意的变量x，量子论的成立。这样，若[AH]=0，则A为运动方程的积分(常量)。若A121, A在经典力学中，可以引入同作用—角变量{狄拉克此处称它们是uniformizing variables.译为一致化变量？}w，

。可以把这样的变量的存在看作是系统在量子论下是多周期系统的条件。

第六节讲述稳态。一个不随时间变换的量，必是个对角阵。对于稳态的描述，经典定律是成立的(the classical laws hold for the description of the stationary states)，特别地，能量是同样的J 的函数。将运动方程应用于x和H，

此即，也就是玻尔条件。将量子条件用于η(nn)-ηrξr(nn)=ih/2π[r结合ξrηr(nn)=(nm)=ηrξr(mm)，可认为解为

n，m时振幅C(nm)恒为0，则可以取ξrηr(nn)=-ih/2π。这样，

J=(n+1/2)h。这表明在玻尔理论中如欲得到正确的频率一般会涉及半量子数。

读狄拉克这篇论文时笔者的感受是，他叙述的语气跟自然真有那么回事儿似的。也许是他积攒的大量数学知识让他每一步都走得很从容，觉得就该是那样的。让人困惑：“他是怎么具有指点这抽象江山的气度的？”1925年的狄拉克才23岁啊。

2.2 量子理论——狄拉克统计狄拉克1926年的On the theory quantum mechanics一文是波动力学发展的重要环节(收稿日期为1926年8月26日，此时薛定谔的分四部分的“量子化作为本征值问题”一文还没发表完)。此文中，狄拉克得到了狄拉克统计，发展了量子版的扰动理论，推导了爱因斯坦的辐射系数。描述动力学系统的变量不满足乘法交换律，而是要满足某些量子条件。只要知道变量满足的代数律而无需了解变量的其他性质就可以构造理论，且如果动力学系统存在uniformising variables集就能把描述系统的变量表示成矩阵。但是，对于多电子系统不存在uniformising variables集，这条路走不通。薛定谔把原子系统用波表示，从变分原理得到波函数ψ应满足的方程。波方程与哈密顿方程H-W=0密切联系，形式为

{对这两句不了解的读者，请参详经典力学里Hamilton—Jacobi方程的相关内容}参数W的值让连续、单值、有界的解ψ存在。的矩阵。由此建立起矩阵力学同薛定谔波动力学之间的数学等价性。狄拉克从稍不同的观点考察薛定谔的理论，将时间t 及其共轭动量-W从一开始就和其他变量同等对待{这还是经典力学本就有的内容}。根据薛定谔的理论，rrW是算符，

。引入了这样的量以后，要注意如果a=b，会有Xa=Xb成立，但aX=bX未必成立。如果Xa=Xb和aX=bX都成立，则a=b成为identity(恒等)。假设方程xy-yx=ih[xy]以及运动方程都是identity{感觉这个强调应加入一般的量子力学教科书}。rrr;tW)=0所表征，则动力学变量x的运动方程为

，其r)-W=0，它就是时间t。根据新理论，考察方程：

因为是线性的方程，通解可表示为

n是一组独立的特解，称为本征函数。若a是系统的积分常数，即有[aF]=0，这样就有aFψ=0，故aψ也是方程的解，可以有展开形式

，矩阵amn可看作变量a 的表示。矩阵表示不是唯一的。可以选择表示动力学系统的某个积分常数之矩阵为对角阵。比如，若哈密顿量不显含t，则W是系统的常数，即能量。令Wψ=W，则对于不显含时间t 的变量x，

，其中。证明如下。

xmnxmn×ei)t/h。可能常矩阵对系统运动积分的表示比矩阵元为函数的矩阵对变化量的表示更重要(more fundamental)。考察一两电子原子，其一电子处于轨道m，另一电子处于轨道n。那么，物理上不可分辨的状态(nm)与(mn)是算作两个不同状态还是一个状态是就是一行一列呢？也就是说在表示矩阵中是带来两行两列还？在前一种情形，那就可以分别计算跃迁(mn)→(m'n' )和(mn)→(n'm' )的强度，然而这两个跃迁又是物理不可区分的，只有两者之和才能在实验上被确定。为了保持理论之只能计算可观测量的根本特性(in order to keep the essential characteristic of the theory that it shall enable one to calculate only observable quantities), 我们还是选择将(nm)与(mn)算作一个态。，则整个原子的本征函数可以简单地当作单个电子单独存在于原子中的本征函数之积，记为(2)。为了让矩阵中只有一行一列对应(nm)与(mn)两者，我们应该找到如下形式的本征函数集：

该集合中只有一个ψmn对应(nm)与(mn)两者，且能得到表示关于两电子之对称函数A的矩阵表示，形式

。为了满足这个条件，有两种方式选择函数集ψmn，amn=bmn，对称的；或者amnbmn，反对称的。单独的对称函数集或单独的反对称性函数集提供了问题的完备解集。此结果可推广至任意电子数的情形。对称的，

；反对称的，形式为如下矩阵的determinantal form {或者直接叫determinant。我一直找不到一个合适的汉语词儿翻译determinant。这个词来自代数方程，翻译成矩阵值很不合适}：

如果计入电子间的相互作用，仍然有对称的和反对称的本征函数，只是不能是这么简单的形式。无论如何，单独对称的或者反对称的本征函数足以给出问题的完备解。{笔者不知道狄拉克这句表述的依据是什么}当有两个电子处于同一个轨道，反对称波函数为0，这正是泡利不相容原理所要求的。现在研究分子集合(assembly ofmolecules)的本征函数。引入新的假设，集合的所有稳态(每个用一个本征函数表示)具有同样的先验概率。如果问题的解是对称的，同一个波相联系的分子数的任何值都具有相同的先验概率，结果是爱因斯坦—玻色统计力学(Einstein—Bose statistical mechanics)，见于普朗克的黑体辐射分布律。另一方面，如果选取反对称本征函数的解，则同每一个波相联系的分子数为0或1，此适用于原子中的电子。把波分成很多的集合，每个集合里的波同具有相同能量的分子相联系。设想在s-集合里有个分子的分布概率由

给出，在约束

和

下求熵S=klogW 的极大，得到条件为

，此为后来的狄拉克分布(图4)。

图4 狄拉克 On the Theory of Quantum Mechanics 一文 p.673上的截图

容笔者补充两句。此处为得到统计分布公式，求极值时用到了拉格朗日乘子法，其中的α，β就是拉格朗日乘子，计算熵时用到了近似logN !≈N logN-N。记住，这里的N 引入时是整数，且数学要求N是大数时近似才成立。然而，在构造统计力学时，哪管N是整数还是实数，是大的数还是小的数甚至是微分小量，一概用logN !=N logN-N 处理，十分粗暴。参阅拙著《黑体辐射》。辐射问题可看作原子系统在电磁场下的受扰动问题。设未扰动体系的波方程为(H-W)ψ=0，通解为

nn联系着原子的一个稳态。自时刻t=0加入扰动，扰动体系的波方程为(H-W+A)ψ=0，可以得到解的形式为

n是时间t 的函数。由

对易，而{不理解为什么A和对易。此处的智慧，是科学构造者要学习的}，假设

，可得方程：

如果N=anan*是处于m-态的原子数目{此处可见产生、湮灭算符的影子了}，其运动方程为

。接下来，假设电磁场扰动的哈密顿量A=，其中η是y方向上的总电极化，(0,κ,0,0)是矢势，一通假设后得到∆的变化表达式，B→m=Bm→nPnm值得提一句，如同薛定谔在1926年的“量子化作为本征值问题”一文中的做法，狄拉克在这篇文章中也是在正文中说是“The new mechanics of the atom introduced by Heisenberg…”，在脚注中则是：“See various papers by Born, Heisenberg and Jordan”。这让后来的人读论文，可不就把建立量子力学的功劳记到了海森堡一个人的头上，这还不算记到海森堡头上到底合适不合适。

编辑：yhc

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来源：中科院物理所

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