“摘要:“说英雄谁是英雄?索末菲帐下众侠,玻恩派门内群英,狄拉克天降孤星。大道晦涩,自教者明。
说英雄谁是英雄?索末菲帐下众侠,玻恩派门内群英,狄拉克天降孤星。
大道晦涩,自教者明。
”摘要 狄拉克是量子力学奠基人中非常独特的一位,凭借一系列重要成就把自己塑造成了人类第一个量子力学博士。狄拉克1925年跟上矩阵力学的发展得到了量子力学基本方程,1926年跟上波动力学的发展得到了狄拉克统计,1928年得到了让其不朽的相对论量子力学方程,后来基于此方程提出了反粒子的概念,此外他还系统地发展了量子力学表示理论。狄拉克的《量子力学原理》一书是量子力学表述的经典,是一本不可多得的关于如何创造物理的教科书。关键词 量子微分,量子力学,相对论量子力学,表示理论,对易关系,狄拉克δ-函数,产生—湮灭算符,Bra-ket记号,矩阵力学,波动力学,电磁场量子化,变换理论,反电子,反质子,狄拉克统计,磁极量子0 EigenTutor狄拉克狄拉克是量子力学奠基者中贡献颇著且个人魅力非常独特的一位,谈论量子力学绕不过狄拉克。狄拉克被誉为麦克斯韦之后不列颠最伟大的理论物理学家。然而,谈论狄拉克极不容易。为了更好地描述狄拉克其人其事,请允许我先造一个字,Eigentutor(自教者)。我是基于Eigenwert(本征值)和MacTutor(大导师)这两个词造的Eigentutor这个词。Eigenwert是“线的代数”这门学科的关键词,它可以说是量子力学的代名词(请记住薛定谔1926年创立波动力学的那篇文章的题目,Quantisierung als Eigenwertproblem),而MacTutor指的是学问极大的导师。如果门下的学生也是大师级的,这样的导师可以称为MacTutor of Maestros(大师的大导师),量子论的奠基人索末菲和量子力学的奠基人玻恩都是MacTutor of Maestros。狄拉克凭借自己参与创造量子力学的成就(没有导师Ralph Fowler的参与)成为了人类的第一个量子力学博士,其1926年的博士论文题目就是简单的两个字:Quantum mechanics(图1)。{这个博士论文的题目让我想起《舌尖上的中国》那句著名的解说词:高端的食材往往只需要最简单的烹饪方式}。狄拉克显然是一个EigenTutor,如果嫌EigenTutor不足以表达狄拉克自教的成就之高,那就用EigenMacTutor一词好了。《量子力学原理》一书1930年出版,狄拉克时年28岁。这也是狄拉克人生的第一本著作。该书在1935年出版了几乎重写的第二版,1947年的第三版采用了bra-ket记号,在1958年出了第四版后不再有改版(1967年出了第四版的修订本),至今被译成了各种不同的语言在世界传播(图2)。狄拉克的《量子力学原理》生动地诠释了什么是“出道即巅峰”。虽然这本书因狄拉克特别在意自创量子力学的表示理论而特别晦涩难懂(笔者个人的感觉),但对于后世的量子力学学习者来说,它一直是绕过不去的坎儿。汲取其中的知识营养,将其用于促进人类文明的进步,是对知识创造者最大的尊重。
图2 The Principles of Quantum Mechanics , 1930
狄拉克自1924年起发表的量子力学方面的论文罗列如下:
(1) P. A. M. Dirac, Note on the Doppler principle and Bohr’s frequency condition,Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 22(3), 432—433 (1924).(2) P. A. M. Dirac, The adiabatic invariance of the quantum integrals,Proceedings of the Royal Society of LondonA107(744), 725—734 (1925).(3) P. A. M. Dirac, The conditions for statistical equilibrium between atoms, electrons and radiation, Proceedings of the Royal Society of LondonA106 (739), 581—596(1925).(4) P. A. M. Dirac, The fundamental equations of quantum mechanics,Proceedings of the Royal Society of LondonA109(752), 642—653 (1925).(5) P. A. M. Dirac, The elimination of the nodes in quantum mechanics,A111(757), 281—305 (1926).(6) P. A. M. Dirac, On quantum algebra.Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society23(4), 412—418 (1926).(7) P. A. M. Dirac, Quantum mechanics and a preliminary investigation of the hydrogen atom, Proceedings of the Royal Society of LondonA110 (755), 561—579 (1926).(8) P. A. M. Dirac, Relativity quantum mechanics with an application to Compton scattering, A111(758), 405—423 (1926).(9) P. A. M. Dirac, On the theory of quantum mechanics,Proceedings of the Royal Society of LondonA112(762), 661—667 (1926).(10) P. A. M. Dirac, The Compton effect in wave mechanics,Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society23(5), 500—507(1927).(11) P. A. M. Dirac, The physical interpretation of the quantum dynamics,Proceedings of the Royal Society of LondonA113(765), 621—641 (1927).(12) P. A. M. Dirac, The quantum theory of dispersion,Proceedings of the Royal Society of LondonA114 (769), 710—728 (1927).(13) P. A. M. Dirac, The quantum theory of the emission and absorption of radiation,Proceedings of the Royal Society of LondonA114(767), 243—265(1927).(14) P. A. M. Dirac, Über die Quantenmechanik der Stoßvorgänge ( 论 碰 撞 过 程 的 量 子 力 学), Zeitschrift für Physik44, 585—595 (1927).(15) P. A. M. Dirac, The quantum theory of the electron,Proceedings of the Royal Society of London A117(778), 610—624 (1928); II, A118(779), 351—361 (1928).(16) P. A. M. Dirac, Über die Quantentheorie des Elektrons (论电子的量子理论),Physikalische Zeitschrift29, 561—563 (1928).(17) P. A. M. Dirac, The basis of statistical quantum mechanics,Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society25(1), 62—66(1929).(18) P. A. M. Dirac, Quantum mechanics of many electron systems,Proceedings of the Royal Society of LondonA123(792),714—733 (1929).(19) P. A. M. Dirac, Note on exchange phenomena in the Thomas atom,Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society26(3), 376—385(1930).(20) P. A. M. Dirac, Note on the interpretation of the density matrix in the many-electron problem, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society27(2), 240—243 (1930).(21) P. A. M. Dirac, On the annihilation of electrons and protons,Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society26(3), 361—375 (1930).(22) P. A. M. Dirac, The proton,Nature126(3181), 605—606 (1930).(23) P. A. M. Dirac, A theory of electrons and protons,Proceedings of the Royal Society of London A126 (801), 360—365 (1930).(24) P. A. M. Dirac, Quantised singularities in the electromagnetic field,Proceedings of the Royal Society of LondonA133(821), 60—72 (1931).(25) P. A. M. Dirac, Relativistic quantum mechanics,A136(829), 453—464 (1932).(26) P. A. M. Dirac, The Lagrangian in quantum mechanics,Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion 3(1), 64—72 (1933).(27) P. A. M. Dirac, Statement of a problem in quantum mechanics,Journal of the London Mathematical Society8, 274—277 (1933).(28) P. A. M. Dirac, Homogeneous variables in classical dynamics,Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society29(3), 389—400(1933).(29) P. A. M. Dirac, Discussion of the infinite distribution of electrons in the theory of the positron, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society30(2), 150—163 (1934).(30) P. A. M. Dirac, The electron wave equation in de Sitter space,Annals of Mathematics36(3), 657—669 (1935).(31) P. A. M. Dirac, Does conservation of energy hold in atomic processes?Nature137(3460), 298—299 (1936).(32) P. A. M. Dirac, Relativistic wave equations, Proceedings of the Royal Society of LondonA155(886), 447—459 (1936).(33) P. A. M. Dirac, Wave equations in conformal space,Annals of Mathematics37(2), 429—442 (1936).(34) P. A. M. Dirac, Complex variables in quantum mechanics,Proceedings of the Royal Society of LondonA160(900), 48—59 (1937).(35) P. A. M. Dirac, The reversal operator in quantum mechanics,Izv. Akad. Nauk. SSSR, 4-5,569—575 (English), 576—582 (Russian) (1937).(36) P. A. M. Dirac,Classical theory of radiating electrons,Proceedings of the Royal Society of LondonA167(929), 148—169 (1938).(37) P. A. M. Dirac, La théorie de l’électron et du champ électromagnétique (电子的与电磁场的理论),Annales de l’Institut Henri Poincaré9(2), 13—49 (1939).(38) P. A. M. Dirac, A new notation for quantum mechanics,Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society35(3), 416—418 (1939).(39) P. A. M. Dirac, The relation between mathematics and physics,Proceedings of the Royal Society of Edinburgh59, 122—129 (1939).(40) P. A. M. Dirac, The physical interpretation of quantum mechanics,Proceedings of the Royal Society of LondonA180(980), 1—40 (1942).(41) Paul A. M. Dirac, Quantum electrodynamics, Communications of the Dublin Institute for Advanced StudiesA1943(1), 1—36 (1943).(42) P. A. M. Dirac, On the analogy between classical and quantum mechanics,Reviews of Modern Physics17(2-3),195—199 (1945).(43) P. A. M. Dirac, Application of quaternions to Lorentz transformations,Proceedings of the Royal Irish AcademyA50, 261—270 (1945).(44) P. A. M. Dirac, Unitary representations of the Lorentz group,Proceedings of the Royal Society of LondonA183(994), 284—295 (1945).(45) P. A. M. Dirac, Developments in quantum electrodynamics,Communications of the Dublin Institute for Advanced StudiesA1946(1), 3—33 (1946).(46) P. A. M. Dirac, Magnetic poles,Physics Today1(7), 26, November (1948).(47) P. A. M. Dirac, On the theory of point electrons,Philosophical Magazine39, 31—34 (1948).(48) P. A. M. Dirac, Quantum theory of localizable dynamical systems,Physical Review73(8), 1092—1103 (1948).(49) P. A. M. Dirac, The theory of magnetic poles,Physical Review74(7), 817—830 (1948).(50) P.A. M. Dirac, Forms of relativistic dynamics, Reviews of Modern Physics21(3), 392—399 (1949).(51) P. A. M. Dirac, La seconde quantication (二次量子化),Annales de l'Institut Henri Poincaré11(1), 15—47 (1949).(52) P. A. M. Dirac, The relation of classical to quantum mechanics,Proceedings of the Second Canadian Mathematics Congress, 10—31(1949).(53) P. A. M. Dirac, Generalized Hamiltonian dynamics,Canadian Journal of Mathematics2, 129—148 (1950).(54) P. A. M. Dirac, The Hamiltonian form of field dynamics,3, 1—23 (1951).(55) P. A. M. Dirac, Quantum mechanics and the aether,The Scientific Monthly78(3), 142—146(1954).(56) P. A. M. Dirac, Note on the use of nonorthogonal wave functions in perturbation calculations,Canadian Journal of Physics33(12),709—712(1955).(57) P. A. M. Dirac, Equivalence of the Schrödinger and Heisenberg pictures,Nature204(4960), 772 (1964).(58) P. A. M. Dirac, Foundations of quantum mechanics,Nature203(4941),115—116 (1964).(59) P. A. M. Dirac, Hamiltonian methods and quantum mechanics,Proceedings of the Royal Irish AcademyA63, 49—59 (1964).(60) P. A. M. Dirac, A positive-energy relativistic wave equation,Proceedings of the Royal Society of LondonA322(1551), 435—445 (1971); II, A328(1572), 1—7 (1972).(61) P. A. M. Dirac, Relativity and quantum mechanics,Fields and Quanta3, 139—164 (1972).(62) P. A. M. Dirac, Fundamental equations of quantum mechanics,Uspekhi Fizicheskikh Nauk122(8), 611—621 (1977).(63) P. A. M. Dirac, The relativistic electron wave equation,Europhysics News8(10), 1—4(1977).此不完全统计只收录狄拉克的明显是关于量子力学的期刊文章,关于量子场论和量子电动力学的文章以及出现在他人编辑之单行本中的文章未收入。狄拉克是个很羞涩的人,上述63篇文章的总作者数为63;在其他署名狄拉克的文章与书籍中,狄拉克也都是唯一作者,完全避免了在别人文章上署名的嫌疑。与狄拉克相比,钱钟书所谓“大抵学问是荒江野老屋中二三素心人商量培养之事”一句中的素心人就显得猥琐了些。此外,狄拉克还有两篇文章是法文的,两篇是德文的,其中的“论碰撞过程的量子力学”一文与玻恩1926的文章同名。从以上简单的文献罗列中,读者对狄拉克对量子力学贡献之钜可能都多少有点儿感觉了。狄拉克还一直讲授量子力学,当然会基于他自己的发现与著述。J.C.Polkinghorne回忆当年狄拉克在剑桥讲量子力学(图3),访问学者们都会把直接从创造者口中听到量子理论的讲述(hear an account of quantum theory “straight from the horse’s mouth”)当成在剑桥最重要的经历。据信狄拉克关于量子力学的讲述会表明清晰优雅的数学思考是理解物理世界之结构的关键(…clear and elegant mathematical thinking was the key to the understanding of the structure of the physical world)。图3 狄拉克讲述量子力学
2 狄拉克量子力学成就盘点2.1 量子力学基本方程狄拉克1925年的The fundamental equations of quantum mechanics一文是对海森堡1925年文章(误传为矩阵力学的第一篇)的响应,这大概是他人生的第四篇论文。狄拉克的这篇文章对矩阵力学的确立不可或缺,应该这样评价的另一篇是泡利的用矩阵力学解氢原子问题的文章。狄拉克的这篇文章在本系列论矩阵力学的文章中简单提及过。海森堡的文章指出不是经典力学的方程有错,而是从方程得到物理结果的数学操作需要改变。经典力学是这么干的。考察一个u自由度的力学系统,假设坐标表示成多重傅里叶级数的形式:这里用到了所谓与经典情形的对应,在后来的正经量子科学家那里引起了不少误解。如同预防针似的,狄拉克写道:“The correspondence between the quantum and classical theories lies not so much in the limiting agreement whenh→ 0 as in the fact that the mathematical operations on the two theories obey in many cases the same laws”。1925年,狄拉克就清清楚楚地提醒了,而100年后仍能看到有人在谈论什么经典力学是量子理论取极限h→0后应有的结果。
提醒一句,看懂这一节需要经典力学的作用——角变量、摄动论部分的知识(拉格朗日就是在研究这个问题注意到一类特殊括号意义的,写出了拉格朗日括号,1809年泊松提出了泊松括号),海森堡论文中的色散关系与傅里叶变换,当然还有狄拉克所作的近似。愚以为,可以理解为狄拉克就是想建立起ξη-ηξ 的量子表达式。
在《量子力学原理》一书中,狄拉克提供了关于对易式的另一种推导。假设量子泊松括号(quantum P. B. )满足泊松括号所有的条件,这些条件足以唯一地决定量子泊松括号的形式,只是要注意因子的顺序。用两种不同路径计算括号,两者相等,得:111111],(u2v2-v2u2)=iℏ[u2, v2]。系数ℏ满足了等式对量纲的要求,而i就是量子力学中ξη-ηξ形式的关系所要求的。这样,对任意的两个变量u, v,量子泊松括号[u, v]满足关系:(uv-vu)=iℏ[uv].
狄拉克假设量子泊松括号和经典泊松括号取值相同,即对坐标和动量,有括号[ss]=δrs。于是得到关于坐标和动量之间的关系:此为fundamental quantum conditions。基本量子条件以及关系(uv-vu)=iℏ[u, v]提供了类比经典力学与量子力学的基础。这是构造量子力学的方法论基础。
在第五节中,狄拉克要推导一些独立于量子条件假设的结果。经典运动方程为,,在量子论中也可以要求其成立。对任意的变量x,量子论的成立。这样,若[AH]=0,则A为运动方程的积分(常量)。若A121, A在经典力学中,可以引入同作用—角变量{狄拉克此处称它们是uniformizing variables.译为一致化变量?}w,第六节讲述稳态。一个不随时间变换的量,必是个对角阵。对于稳态的描述,经典定律是成立的(the classical laws hold for the description of the stationary states),特别地,能量是同样的J 的函数。将运动方程应用于x和H,
读狄拉克这篇论文时笔者的感受是,他叙述的语气跟自然真有那么回事儿似的。也许是他积攒的大量数学知识让他每一步都走得很从容,觉得就该是那样的。让人困惑:“他是怎么具有指点这抽象江山的气度的?”1925年的狄拉克才23岁啊。
2.2 量子理论——狄拉克统计狄拉克1926年的On the theory quantum mechanics一文是波动力学发展的重要环节(收稿日期为1926年8月26日,此时薛定谔的分四部分的“量子化作为本征值问题”一文还没发表完)。此文中,狄拉克得到了狄拉克统计,发展了量子版的扰动理论,推导了爱因斯坦的辐射系数。描述动力学系统的变量不满足乘法交换律,而是要满足某些量子条件。只要知道变量满足的代数律而无需了解变量的其他性质就可以构造理论,且如果动力学系统存在uniformising variables集就能把描述系统的变量表示成矩阵。但是,对于多电子系统不存在uniformising variables集,这条路走不通。薛定谔把原子系统用波表示,从变分原理得到波函数ψ应满足的方程。波方程与哈密顿方程H-W=0密切联系,形式为图4 狄拉克 On the Theory of Quantum Mechanics 一文 p.673上的截图
容笔者补充两句。此处为得到统计分布公式,求极值时用到了拉格朗日乘子法,其中的α,β就是拉格朗日乘子,计算熵时用到了近似logN !≈N logN-N。记住,这里的N 引入时是整数,且数学要求N是大数时近似才成立。然而,在构造统计力学时,哪管N是整数还是实数,是大的数还是小的数甚至是微分小量,一概用logN !=N logN-N 处理,十分粗暴。参阅拙著《黑体辐射》。辐射问题可看作原子系统在电磁场下的受扰动问题。设未扰动体系的波方程为(H-W)ψ=0,通解为编辑:yhc
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来源:中科院物理所