摘要：近日数学界喜讯频传。3维挂谷猜想，历史上著名的希尔伯特第6问题，即物理学公理化，纷纷在长期沉寂之后迎来了可能的突破。三位数学家邓煜、Zaher Hani和马骁宣布该问题的狭义版本已解决，给出了从牛顿定律（硬球模型）到玻尔兹曼方程再到流体力学方程的严格数学推导。
近日数学界喜讯频传。3维挂谷猜想，历史上著名的希尔伯特第6问题，即物理学公理化，纷纷在长期沉寂之后迎来了可能的突破。三位数学家邓煜、Zaher Hani和马骁宣布该问题的狭义版本已解决，给出了从牛顿定律（硬球模型）到玻尔兹曼方程再到流体力学方程的严格数学推导。如果最终被证明正确，这会是数学与物理学交融的伟大成果。
撰文 | 嘉伟
曾经看到过一种非常有诗意的说法：牛顿力学消除了时间的方向。如若回忆一下经典力学基础的牛顿三大定律，就可以发现，定律的描述之中是没有时间方向这一参数的。这也意味着，在一个时间倒流的宇宙里，经典力学的表述形式将和我们所熟知的并无任何差异。这种理论性质一般被称为时间反演对称性。
2006年的IMO（国际数学奥林匹克竞赛，International Mathematical Olympiad）金牌得主邓煜，当年被保送至北大数学系，2年之后又转去了麻省理工学院（MIT）继续研读数学专业。如今他已经是颇有建树的青年数学家，现为芝加哥大学副教授。他和密歇根大学数学系教授Zaher Hani，以及密歇根大学助理教授马骁（本科毕业于中科大少年班）组成的团队（简称为DHM团队）在2025年3月3日于arXiv上贴出文章，宣称解决了希尔伯特第6问题。
邓煜、Hani和马骁发布在arXiv上的论文标题和摘要
邓煜近照 | 图源：zhihu.com/question/14073117334
虽然125年前提出的希尔伯特第6问题，主旨是物理学的公理化，但如果追溯其历史渊源，可以发现希尔伯特在阐述该问题的时候，未尝没有将热力学第二定律所刻画的宏观现象归结于微观机械行为的动机。所以从一个浪漫且稍显夸张的角度来说，如果经验证无误的话，邓煜等人的论文在某种意义上相当于为牛顿力学找回了时间的箭头。
当然，实际上牛顿力学是一个很宽泛的概念，它包含了三体问题、KAM定理，等等。本身就可以说牛顿力学蕴含了时间的单向性，这些则远非当代数学家的功劳。
时间之矢：经典力学与热力学的紧张关系
早在17世纪，艾萨克·牛顿（Isaac Newton）就开始对运动扩散的不可逆性现象产生了浓厚的兴趣，特别是它似乎还关乎机械宇宙是否还需要神学介入的问题。牛顿认为，一般地说，“运动多是失去容易得到难，总是趋于退化。”
等到18世纪和19世纪早期，人们开始注意到，有很多自然现象似乎并无时间反演对称性。比如说气体的扩散、摩擦力的耗散、热量总是从温度高的物体流向温度低的问题……名为热力学的物理学分支开始发展出一个统一的理论框架，德国数学家和物理学家鲁道夫·克劳修斯（Rudolf Clausius）在1865年第一次提出了热力学第二定律的现代表述：宇宙的熵总是趋于最大。
但这和时间的方向性又有何关系呢？请细想一下我们是怎么知道时间是有方向的？
如果播放一段视频，画面里有个杯子落到地上，摔成了碎片。没有人会觉得这一过程有什么不自然的问题。但是，如果看到地上四散的玻璃碎片跃起，拼成了一个完整的玻璃杯，我们都会意识到，这段视频是倒放的！
上面简单的思想实验其实揭示了我们认知时间的方式，而这一方式本质上是人类对热力学第二定律的朴素经验——就算完全不了解热力学第二定律的人，因为世界上的万事万物都受其制约，所以通过身边的现象，自然会对这一基本物理学定律有所感知。
19世纪中叶，新生的热力学理论享有一段与牛顿力学没有明显冲突的短暂安宁时期。詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）和路德维希·玻尔兹曼（Ludwig Eduard Boltzmann）把气体分子的运动理论和统计学上的概念联系了起来。玻尔兹曼更是首次把统计力学与热力学第二定律之间的联系，阐释得明明白白。
麦克斯韦引入了著名的分子混沌假设。它假设两个发生碰撞的粒子的速度是彼此不相关的，并且与具体位置无关。这意味着可以通过分别考虑每个粒子的概率来计算一对具有给定速度的粒子碰撞的概率，而忽略找到一个具有速度v的粒子和找到另一个具有速度v′的粒子的概率之间的相关性。这个假设是玻尔兹曼方程的关键成分，它允许从 BBGKY 层次结构（描述多粒子系统中各个粒子的分布函数）过渡到玻尔兹曼方程，玻尔兹曼用它推导出了气体分子的热力学第二定律——H定理（H-theorem）。
在气体的经典模型中，气体分子的运动看起来很混乱。玻尔兹曼说明了假设每次碰撞是随机且独立的，系统会向麦克斯韦分布收束，就算一开始并非符合该分布。| 图源：H-theorem - Wikipedia
他们的方法是把气体分子看作是刚性的小球，根据小球速度的统计分布，可以得到气体宏观行为的特征——如根据分子运动来描述的热现象，毕竟温度就是物体内部分子或原子的平均动能的量度。
但有个更加基本的问题：考察单个分子小球，没有什么神秘的力量迫使它遵循热力学第二定律，它仅仅是遵照一般的动力学定律，运动、碰撞、改变路径……全部过程都是可逆的，每个分子也都是如此，但是在整体上，最终实现了热力学第二定律所指向的单一结果。而这种确定的方向性——如温度不同的气体混合在一起，最终温度会变得均匀——我们通常就认为，这是时间的方向！
或许有读者会猜测，热力学定律与经典力学存在“矛盾”，是否是因为它其实是量子现象？遗憾的是，量子力学里的薛定谔方程也是时间反演对称的。实际上几乎所有的物理学定律都满足时间反演对称性，像热力学第二定律这样有时间方向性的定律反而是少数派。
质疑：从物理过渡到数学
不出所料，这个深奥的物理问题自然而然地引出了深奥的数学问题……以及争端。
约翰·洛施密特（Johann Josef Loschmidt）是奥地利的科学家，在热力学、光学、电动力学和化学领域做出了开创性的工作。他虽是玻尔兹曼的好友，但无法接受从时间对称的动力学和形式中推导出不可逆的过程！在科学史上，从时间对称的动力学和形式中推导出不可逆的过程被称为洛施密特悖论。
洛施密特并不孤单，实际上大名鼎鼎的数学家和逻辑学家恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）也反对统计力学。策梅洛是如今数学界使用最广泛的公理系统——策梅洛-弗兰克尔公理系统（ZF，如果加上选择公理则是ZFC）——的创建者之一。他意识到，玻尔兹曼的H-定理与亨利·庞加莱（Jules Henri Poincaré）的回归定理相互冲突。庞加莱是那个时代的数学界领袖，拓扑学上著名的庞加莱猜想正是他提出的。
庞加莱回归定理（Poincaré Recurrence Theorem）断言对于某类孤立的力学系统，只要经过足够长的时间，系统一定会回到一个与初始状态任意接近的状态，或者返回到初始状态本身。这个定理适用于守恒系统，即系统的总能量和体积保持不变。庞加莱回归定理的核心思想是，在一个有限体积的相空间中，系统的轨迹会在时间演化中不断遍历这个空间，最终会回到初始状态或其附近。换句话说，模拟稀薄气体分子的大量小球，可以演化到无限接近初始时的状态。这就违背了热力学第二定律。
玻尔兹曼对此做出的解释，也是现代教科书普遍采用的解释是：统计力学是基于统计的，而庞加莱回归所需时间的期望值，远远超过宇宙的现有寿命，所以系统在几乎所有时间里都是满足热力学第二定律的，这体现了热力学定律在宏观上的统计意义。
统计力学奠基人路德维希·玻尔兹曼于 1905 年访问了美国加州新成立的斯坦福大学，在日记里写道：“在欧洲，如果一个富婆发疯了，她会给自己买一打猫或一只鹦鹉；而在这里，她会聘请一流的建筑师，建造一所大学。”
1905年，玻尔兹曼从加利福尼亚巡回演讲归来后，他的一名学生为他画了一幅漫画。| 图源：Emilio Segrè, Falling Bodies to Radio Waves（从落体到无线电波）
经过几次质疑和反驳，玻尔兹曼的统计力学开始被人们接受。但最开始的问题仍困扰着那个时代的数学家：能否摒弃未经证明的假说，单纯借助经典力学推导出玻尔兹曼方程（相当于说从时间可逆的机械力学系统演化出时间不可逆的热力学系统）？如果不能的话，是不是说明用于构建玻尔兹曼方程的那些假说，本身是一个需要客观承认的新物理事实（定律）？
回应：希尔伯特第6问题
在1900年的巴黎国际数学家大会，历史地位至少与庞加莱相当的数学巨人大卫·希尔伯特（David Hilbert）在演讲中提出了著名的23个“面向未来”的问题。
其中第6个问题：
“对几何基础的研究提出了这样一个问题：以公理化的方法同样处理那些当今数学已发挥重要作用的物理科学；其中首要的是概率论和力学。……玻尔兹曼关于力学基本原理的工作提出了这样一个问题：如何在数学上发展那些仅被初步阐明的极限过程，进而从原子论的观点推导出连续介质的运动定律。”
这里大家也能看到，希尔伯特第6问题是非常宽泛的，最终目标是把整个物理学公理化，但是在问题的进一步阐述中，他特意提及了玻尔兹曼方程和（经典）力学的关系。结合前文介绍的背景，也能反推出当时学界对玻尔兹曼的统计力学的不信任程度，以及希尔伯特迫切期望澄清“可逆的动力学过程如何演化出不可逆结果”的数学本质。
后者（而非为物理学进行公理化）也是DHM团队意图攻克的难题。
历史上对该问题后半部分的常规理解是，从稀薄气体的动力学玻尔兹曼方程到可压缩气体动力学的连续欧拉方程和不可压缩的纳维-斯托克斯-傅里叶方程的过渡。但是少有数学家尝试去从牛顿力学推出玻尔兹曼方程。
直到1975年，美国数学家Oscar Erasmus Lanford证明了Lanford定理。他基于粒子均为球对称粒子弹性碰撞的假设，证明了在足够短的时间内玻尔兹曼方程的正确性。近年来欧洲的数学家们（如Laure Saint-Raymond，Isabelle Gallagher等人）对此问题进行了深入的研究，但希尔伯特第6问题需要对任意长的时间证明玻尔兹曼方程的正确性，在这点上并无突破进展。
主要困难来自于证明不同粒子的（渐近）独立性的假设是合理的，也就是前文提及的分子混沌假设。这被证明更具挑战性。事实上，最新论文的三位作者甚至花了一些时间才把它作为一个具体的数学问题来正确地阐释。
两步解决希尔伯特第6问题：从牛顿到玻尔兹曼到流体方程。|图源：https://arxiv.org/pdf/2503.01800
DHM团队尝试解决这一历史遗留问题，进而完全打通“从牛顿到玻尔兹曼到流体方程”的过程。
他们以及历史上对“狭义”希尔伯特第6问题的解答，比起为物理学（某个分支）构建一套公理系统（并证明其相容性），更像是证明纯粹的数学问题（虽然这个问题的背后有丰富的内涵和历史，乃至深刻的哲学），大意如下：
根据控制微观粒子相互作用的牛顿定律，对流体的宏观方程（如欧拉方程和纳维-斯托克斯方程）给出数学上严格的推导，其中，玻尔兹曼动力学方程的推导是一个关键的中间步骤。换句话说，这个问题需要证明两个极限的合理性：（i）动力学极限，即在适当的极限N → ∞中，从N粒子系统的（微观）牛顿力学传递到单粒子密度函数的玻尔兹曼动力学方程，以及（ii）流体力学极限，即在碰撞频率趋于无穷大的极限中，从玻尔兹曼动力学方程传递到流体运动的（宏观）方程。
单个水分子就像是一个小球，足够多的水分子则可以构成水蒸气。当分子小球彼此始终处于碰撞中，我们可以说它们“黏”在了一起，变成了连续的液体。
把上面朴素的思路进行理论化，就得到了数学物理中的kinetic limit的概念。它通常用于描述从微观动力学到宏观行为的过渡。它涉及研究当系统中粒子数量趋于无穷大且粒子间的相互作用范围趋于零时，系统的行为如何演化。在玻尔兹曼动力学理论中，kinetic limit是推导玻尔兹曼方程的关键步骤。通过这种极限过程，可以从粒子系统的微观动力学（如牛顿定律）推导出描述宏观行为的动力学方程（如流体力学方程）。这一过程通常被称为 Boltzmann-Grad 极限，它是稀薄气体分子运动理论的基础。
DHM团队的论文有48页，但是要想吃透里面的内容，则需要对这一领域有全面且深入地理解。至少还需要阅读历史上数十篇相关的论文，像他们之前在2024年11月发表的164页论文，就是为最后一篇所做的准备工作。
另外值得一提的是，数学界有所谓的四大顶刊：Annals of Mathematics（《数学年刊》）、Inventiones Mathematicae（《数学新进展》）、Acta Mathematica（《数学学报》）和Journal of the American Mathematical Society (JAMS)（《美国数学会杂志》）。在这些期刊上发表论文的难度极高，能够在其中发表文章是数学家学术生涯中的重要成就。刚刚进入研究领域并不算久的邓煜，已在其中三家刊物上发表过论文。最近两年更是连续有论文被顶刊所采用。
2024年发布的前期结果 | 图源：https://arxiv.org/abs/2408.07818
他们最新的论文，就算是偏微分方程领域里的专家学者，也需要漫长的时间来研读审阅，才能做出评价。笔者限于自身的水平，更无可能对文章进行深入的分析和讲解，乃至做出评判。但还是可以纠正一些媒体的报道。比如，有一篇报道提到，他们主要通过4个步骤实现突破，其中第四步是“熵产生机制，通过碰撞序列的马尔可夫性解释时间箭头起源”云云，这部分疑似由AI生成……按照他们团队的思路，完全不需要解释熵产生机制——他们只需要从牛顿力学推出玻尔兹曼方程，后者原本就蕴含H-定理。从前文可知，H-定理相当于针对气体的热力学第二定律。此外在论文中也没有看到关于马尔可夫性的应用。
虽然他们的成果还需要等待漫长的同行评议过程，但学术界普遍比较乐观。现在北大国际数学中心正在组织研讨会，已经邀请邓煜和马骁于3月17日至22日作5天报告。
邓煜现就职于芝加哥大学的数学系，在他的个人主页上有如下个人介绍：
喜爱诗歌、故事、小说、拼图、漫画、围棋、足球以及任何美丽迷人的事物。
诚哉斯言。
[1]Yu Deng, Zaher Hani, Xiao Ma, Hilbert's sixth problem: derivation of fluid equations via Boltzmann's kinetic theory, arXiv:2503.01800
[2]Yu Deng, Zaher Hani, Xiao Ma, Long time derivation of the Boltzmann equation from hard sphere dynamics, arXiv:2408.07818
[3]邓煜芝加哥大学的个人主页https://mathematics.uchicago.edu/people/profile/yu-deng/
[4]Yu Deng,https://www.zhihu.com/question/34782710/answer/354811354
特 别 提 示
来源：返朴