摘要：本文深入阐述球坐标系的表示方法，从其定义、参数含义入手，详细介绍球坐标系与笛卡尔坐标系的转换关系，以及在球坐标系下的体积元、单位矢量等关键概念，并通过具体实例说明其应用，旨在帮助读者全面理解和掌握球坐标系。

球坐标系的表示方法详解

纪红军

摘要

本文深入阐述球坐标系的表示方法，从其定义、参数含义入手，详细介绍球坐标系与笛卡尔坐标系的转换关系，以及在球坐标系下的体积元、单位矢量等关键概念，并通过具体实例说明其应用，旨在帮助读者全面理解和掌握球坐标系。

球坐标系；表示方法；坐标转换；应用实例

一、引言

在数学和物理学等众多领域中，为了精确描述空间中点的位置，常常需要使用坐标系。球坐标系作为一种重要的三维坐标系，在处理具有球对称性的问题时，展现出独特的优势和便利性。例如在研究原子结构、天体运动等方面，球坐标系发挥着不可或缺的作用。

二、球坐标系的定义

球坐标系使用三个参数来确定空间中一点的位置 ，具体如下：

1. 径向距离（r ）：表示点到原点的距离，r \geq 0 。它描述了点在以原点为中心的球面上的半径大小。

2. 极角（\theta ）：从正z -轴到点的连线与正z -轴之间的角度，范围是0 \leq \theta \leq \pi 。极角决定了点在垂直方向上相对于z轴的位置。

3. 方位角（\varphi ）：在xy -平面内，从正x -轴到点的投影与正x -轴之间的角度，范围是0 \leq \varphi

通常用符号(r, \theta, \varphi)来表示一个点的球坐标 。例如，点P的球坐标为(5, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}) ，这意味着点P到原点的距离为5 ，极角为\frac{\pi}{4} ，方位角为\frac{\pi}{3} 。

三、球坐标系与笛卡尔坐标系的转换

在实际应用中，常常需要在球坐标系与笛卡尔坐标系（直角坐标系）之间进行转换。它们之间的转换关系如下：

（一）从球坐标系到笛卡尔坐标系

\begin{cases}

x = r \sin\theta \cos\varphi \\

y = r \sin\theta \sin\varphi \\

z = r \cos\theta

\end{cases}

（二）从笛卡尔坐标系到球坐标系

\begin{cases}

r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \\

\theta = \arccos(\frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}) \\

\varphi = \arctan(\frac{y}{x})

\end{cases}

需要注意的是，在计算\varphi时，要根据x和y的正负来确定其所在象限，以得到正确的角度值 。例如，当x > 0, y > 0时，\varphi = \arctan(\frac{y}{x})；当x 0时，\varphi = \pi + \arctan(\frac{y}{x})等。

四、球坐标系下的体积元

在球坐标系中，计算体积时需要用到体积元dV 。体积元dV的表达式为：

dV = r^{2} \sin\theta dr d\theta d\varphi

这个公式的推导可以通过对微小体积的分析得到。考虑一个由r到r + dr ，\theta到\theta + d\theta ，\varphi到\varphi + d\varphi所围成的微小六面体，其体积近似为dV 。其中，r^{2} dr表示沿径向的微小柱体体积，\sin\theta d\theta d\varphi则表示在球面上微小面积元对应的立体角。例如，在计算球体体积时，就可以利用这个体积元进行积分：

V = \int_{0}^{2\pi} d\varphi \int_{0}^{\pi} \sin\theta d\theta \int_{0}^{R} r^{2} dr = \frac{4}{3} \pi R^{3}

五、球坐标系下的单位矢量

在球坐标系中，有三个相互垂直的单位矢量：\hat{r} ，\hat{\theta} ，\hat{\varphi} 。它们的方向分别指向对应坐标增加的方向 ，并且满足正交归一性，即\hat{r} \cdot \hat{r} = 1 ，\hat{\theta} \cdot \hat{\theta} = 1 ，\hat{\varphi} \cdot \hat{\varphi} = 1 ，且\hat{r} \cdot \hat{\theta} = 0 ，\hat{r} \cdot \hat{\varphi} = 0 ，\hat{\theta} \cdot \hat{\varphi} = 0 。这三个单位矢量随点的位置变化而变化，例如在不同的(\theta, \varphi)位置，它们的方向是不同的 。

六、应用实例

（一）计算球体的质量

假设有一个密度为\rho(r, \theta, \varphi)的球体，半径为R ，求其质量M 。

根据质量的计算公式M = \int \rho dV ，在球坐标系下进行积分：

M = \int_{0}^{2\pi} d\varphi \int_{0}^{\pi} \sin\theta d\theta \int_{0}^{R} \rho(r, \theta, \varphi) r^{2} dr

如果球体的密度是均匀的，即\rho为常数，那么积分结果为M = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho 。

（二）描述电场强度

对于一个点电荷q位于原点产生的电场，在球坐标系下，电场强度\vec{E}的表达式为：

\vec{E} = \frac{q}{4\pi \epsilon_{0} r^{2}} \hat{r}

其中，\epsilon_{0}是真空介电常数。这个表达式简洁地描述了电场强度在球坐标系下的分布情况，体现了球坐标系在处理具有球对称性的电场问题时的优势。

七、结论

球坐标系通过径向距离、极角和方位角三个参数，为描述三维空间中的点提供了一种有效的方式。它与笛卡尔坐标系之间的转换关系，以及体积元、单位矢量等概念，构成了其完整的理论体系。在物理学、工程学、天文学等众多领域，球坐标系都有着广泛的应用，通过对球坐标系表示方法的深入理解和掌握，可以更好地解决相关领域中的实际问题。

参考文献

[1] 球坐标系 - CSDN博客. https://blog.csdn.net/qq_35097289/article/details/94003524

[2] 什么是球坐标_球坐标系 - CSDN博客. https://blog.csdn.net/u013172930/article/details/144721725

[3] 球坐标系 - 小时百科. https://wuli.wiki/online/Sph.html

来源：简单花猫IN