母△的顶点轨迹为斜线与圆弧时子△顶点轨迹的求解“多例说”

摘要：都知道平面几何中的“子母相似三角形”（包括两种情形），若母三角形底边确定，而顶点为动态，那么，子三角形的相应顶点也为动态状。当母三角形顶点轨迹为平行于底边的直线时（且间距确定），子三角形相应顶点轨迹的求解方法上篇已发。若母三角形的顶点轨迹为斜线或圆弧时，子三角

都知道平面几何中的“子母相似三角形”（包括两种情形），若母三角形底边确定，而顶点为动态，那么，子三角形的相应顶点也为动态状。当母三角形顶点轨迹为平行于底边的直线时（且间距确定），子三角形相应顶点轨迹的求解方法上篇已发。若母三角形的顶点轨迹为斜线或圆弧时，子三角形相应顶点的轨迹如何求解？今天选编几例，大家一起来说说：

【引例】（如图）在△ABC中，BC=2，BC边上的高：h=√3。

（1）（如图1）若点D在射上CA上，且满足：∠DBC=∠BAC，则：点D的轨迹如何？

（2）（如图2）若点D在射线AC上，且满足：∠DBA=∠BCA，则：点D的轨迹如何？

【分析】以上两种（子母相似）情况下点A的轨迹为直线L（L//BC且间距为h）时，点D轨迹的求解方法在上篇已发布过（不再重复）。

【若两种情形在同一图形中时，则BD’=BD"】

【下面】若：（母三角形中）点A的轨迹为斜直线或圆弧时，（子三角形中）点D轨迹如何求解举例说法。

【例一】（如图）在△ABC中，∠ACB=30º，BC=2，点D为边BC的中点，点E为射线DA上一点，且∠EBD=∠BAD，求EC的最大值

【分析】首先：在△ABD中，底边BD=1，顶点A的轨迹为斜线CA（与BC成30º角，点C为定点）；然后：由题设可得△ABD∽△BED（子母相似），BD²=DA·DE=1；最后：过点D作边AC的垂线（作反演变换）…具体求解过程如下：

【例二】（如图）正△ABC的边长为4，⊙A的半径为2，点D为圆上一点，连DB、DC，点E在射线CD上，且∠EBC=∠BDC，求EA的最小值

【分析】首先：△DBC中，底边BC=4，顶点D的轨迹为定圆⊙A，半径为2；然后：易知（子母相似）△EBC∽△BDC，BC²=CE·CD=16；最后：利用圆割线性质得线段比值…具体求解过程如下：

【例三】（如图）在△ABC中，∠ACB=30º，BC=2，点D为BC边中点，点E为射线AD上一点，且：∠EBA=∠BDA，求：CE的最小值

【分析】首先：△ABD中，底边BD=1，顶点A的轨迹为斜线CA（与BC的夹角为30º，点C为定点）；然后：由已知可得△ABE∽△ADB（子母相似），AB²=AE·AD=AD²－AD·DE，分别过B、D作AC边上垂线段可得，AD·DE=√3AM；最后：造相似三角形得，△EDP为定角对定边…具体求解过程如下：