摘要：你发现了圆的一个非凡的性质，这将在几何学者之间流芳百世。摘自克里斯蒂安·惠更斯(Christiaan Huygens ,1629-1695)1674年写给莱布尼茨的一封信

你发现了圆的一个非凡的性质，这将在几何学者之间流芳百世。

摘自克里斯蒂安·惠更斯(Christiaan Huygens ,1629-1695)1674年写给莱布尼茨的一封信

级数是数学史上最卓越的成果之一，它将π和奇数联系起来（见图69)。现在，我们终于可以解释这一级数的由来了。

这一级数的发现历史让人有点好奇。莱布尼茨在1682年的《教师学报》上发表了这一成果，这是它在出版物上的首次亮相，但是莱布尼茨当时并没有给出任何推导或者证明过程。不仅如此，实际上早在大约1674年，莱布尼茨在巴黎工作期间就已经发现了这一结果。更有甚者，苏格兰数学家詹姆斯·格雷果里（ James Gregory ,1638-1675）可能在那更早的几年前就已经有此发现。

而早在莱布尼茨和格雷果里发现这一级数的3个世纪之前，印度喀拉拉邦的数学家们就已经知晓这一结果。现在普遍把这一成果归功于喀拉拉邦天文与数学学院的创建者马德哈瓦（ Mādhava )。然而他们所使用的方法稍有差异，莱布尼茨所使用的方法具有更强的几何性。

无论如何，如果要利用微积分看看π是怎么和奇数建立起联系的话，我们需要用到目前所学的所有重要知识。为了使大家能清晰理解，以下分步骤来阐明论证的过程。

寻找π/4……

假设 x 和θ有以下关系，且此关系对于0到π/4之间所有的θ都成立。

我们可以画出它们的关系曲线（见图70):

首先，我们可以发现当θ=0时， x =0。而且随着θ的增大，

的值也逐渐增大，直到θ=¼π，此时x=1。

这是因为¼π弧度对应的角度是45°，而这时候定义sinθ和cosθ的直角三角形同时是一个等腰三角形，两短边相等（见图71)。

图71当θ＝¼π时， x =1

至此，¼π作为一个令

的特殊值被引入我们的论证中。

寻找一个无穷级数

接下来，微积分就开始发挥它的作用了。我们可以把整个推导过程分为6个小的步骤。

第一步，求以下表达式的导数：

利用图63和图57中对比值求导的莱布尼茨链式法则可得

第二步，利用关系式

改写上式等号右边的项：

第三步，利用莱布尼茨链式法则（见第86页）将上式改写成以下形式：

利用反函数求导法则可以得到这一步

这样我们可以把θ看作 x 的函数，而不是把 x 看作θ的函数。

第四步，把

中的 x 换成x²，利用得到的无穷级数对等式的右边进行展开，即

该式对于所有满足x²

第五步，再次运用微积分，对上式关于 x 积分可得

其中因为当θ=0时， x =0，所以可得积分常数为0。

第六步，正如我们在第104页得到的，当θ＝¼π时， x =1。把对应的值代入上式，我们便可以得到著名的莱布尼茨级数，如图72所示。

图72莱布尼茨1682年的论文插图

在结束这一部分前，我想做几点补充说明。

首先，我们所做的最后一步是不太严谨的。正如我们在第四步中提到的，该式的成立条件是x²

其次，这并不完全是莱布尼茨的解法，他的解法具有更强的几何性。他在1676年8月（间接）寄给牛顿的一封信中阐释了他的解法。附带说一句，尽管牛顿煞费苦心地指出：

yᵉ级数……准确地说……是区别于莱布尼茨先生的 yᵗ级数的另一个级数。

莱布尼茨立即用一个类似的级数予以回击：

最后，我们必须面对一个事实（讽刺的是，这是牛顿指出的），莱布尼茨级数并不能在实际计算π的时候发挥作用，因为它收敛的速度实在是太慢了，甚至在计算了300项之后，它的精度还不及阿基米德所给出的近似值22/7，而这一近似值的出现比莱布尼茨级数早了几乎2000年。

尽管有很多无穷级数能更快地收敛到一个与π相关的数，但在我看来，它们都远比不上莱布尼茨级数那令人惊叹的优雅和简洁。

以上内容引自《微积分的故事》，作者是英国数学家大卫·艾奇逊。

来源：涵涵课堂