为何物理学能给数学带来更多突破的灵感？

摘要：数学长期以来一直是物理学进步的基础。1915年，阿尔伯特·爱因斯坦将广义相对论誉为数学“真正的胜利”，因为他发现，半个多世纪前的纯数学著作，在其引力理论中完美地描述了时空结构。后来，他不禁思考，一个完全不考虑应用的数学，怎么会“如此令人钦佩地适用于现实对象”呢

本文来源：知社学术圈

数学长期以来一直是物理学进步的基础。1915年，阿尔伯特·爱因斯坦将广义相对论誉为数学“真正的胜利”，因为他发现，半个多世纪前的纯数学著作，在其引力理论中完美地描述了时空结构。后来，他不禁思考，一个完全不考虑应用的数学，怎么会“如此令人钦佩地适用于现实对象”呢？

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数学对物理学的贡献如今已被视为理所当然，但这源于它的起点。毕竟，数学是为了测量、量化和理解物理世界而发明的。在美索不达米亚，苏美尔人发明了一种计数系统，留下了刻有乘法表的泥板。它们的用途是什么？用来统计商品和财产。在随后的几千年里，这个最初作为政府和商业运转工具的技术，逐渐发展出自己的生命力。尽管数学扩展到一些晦涩难懂、需要多年训练才能理解的抽象领域，但它仍然支撑着物理学的重大突破。

然而，近来形势发生了逆转。如今，物理学的洞见和直觉正意外地引领数学领域的突破。在20世纪的大部分时间里，数学家们在尝试多条路径之后，越来越多地转向通过自然界的规律和模式来寻求灵感。数十年来停滞不前的领域正在被打破。甚至连哲学家们也开始探究物理学为何在数学中被证明“异常有效”（正如有人大胆宣称的那样）。这个问题的关键在于，支配宇宙运行的规则与人类思维最抽象的思考之间存在着一种很大程度上未被重视、令人困惑却又深刻的联系。

数学之美的体验与美妙的音乐、艺术或诗歌一样，

激发大脑的相同区域。

为什么物理学——其根基在于理解苹果掉落和电子云等现实世界的事物——能够为解决数学中一些最棘手的问题提供如此好的线索，而数学处理的是函数和方程等无形的东西？

“物理学家对严格证明的关注远不如数学家，”法国学院数学家、菲尔兹奖得主蒂莫西·高尔斯（Timothy Gowers）说道。他表示，有时这“使得物理学家能够比数学家更快地探索数学领域”。如果说数学家倾向于深入研究这片领域中的小块区域，那么物理学家则更有可能快速浏览这片广阔的未知领域。从这个角度来看，物理学家可能会偶然发现新的、强大的数学概念和关联，数学家可以回过头来尝试证明（或反驳）它们。

事实上，物理学启发数学的过程与科学本身一样古老。古希腊数学家兼发明家阿基米德描述了力学定律如何激发了他的一些最重要的数学发现，如通过杠杆原理推导了杠杆平衡的数学表达式，通过对浮力现象的解释引出了重心、平衡和浮力等概念。此外，还有艾萨克·牛顿，他（与他同时代的德国博学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨一起）在试图理解落体运动时，发明了一种全新的数学——微积分。

希腊语：´Aρχιμήδης；前287年—前212年

然而到了20世纪中叶，物理学领域涌现的新数学几乎枯竭。无论是物理学家还是数学家，都对物理学领域之外发生的事情不太感兴趣。在数学领域，一群颇具影响力的法国年轻数学家，被称为布尔巴基小组，他们致力于使数学尽可能精确，从头开始重建整个领域，并发表他们的合作成果，希望以此促进未来的发现。与此同时，物理学家们兴奋地发展着诸如标准模型之类的开创性思想——这仍然是物理学家们关于原子和亚原子世界的最佳理论。对他们中的许多人来说，数学只是一个方便的工具，他们对布尔巴基斯倡导的严谨的数学观毫无兴趣。

然而，已故英裔黎巴嫩几何学家迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）率先提出了和解。凭借着罕见的直觉，再加上一点运气，同样获得菲尔兹奖的阿蒂亚经常会关注到后来理论物理学家感兴趣的领域。

迈克尔·弗朗西斯·阿蒂亚爵士

（1929年4月22日 - 2019年1月11日）

“在20世纪70年代中期，他确信理论物理学是迄今为止最有希望的新思想源泉，”曾与阿蒂亚合作的牛津大学数学家、名誉教授奈杰尔·希钦（Nigel Hitchin）在2020年谈到这位前同事时写道。“从那时起，他成为数学家和物理学家之间互动的推动者，致力于攻克物理学家提出的数学挑战，运用物理思想证明纯数学结果，并向物理学家群体提供他认为重要但物理学家不熟悉的现代数学知识。”

阿蒂亚的长期合作伙伴之一是数学物理学家爱德华·威滕，两人于1977年首次相识。威滕比阿蒂亚小20多岁，后来成为弦理论的先驱。弦理论认为，微小的一维振动弦是宇宙的基本构成要素，而非标准模型中的粒子。

弦理论最初被誉为一种可能的“万物理论”，它将量子理论与爱因斯坦的引力理论统一起来。迄今为止，弦理论对一些最抽象的数学领域（例如代数几何和微分拓扑）的影响，可以说比对物理学的影响更大。在这些领域，威滕和其他弦理论家提出了一些精确的猜想，这些猜想后来被数学家们证实。

例如，1991年，物理学家菲利普·坎德拉斯（Philip Candelas）、泽尼亚·德·拉·奥萨（Xenia de la Ossa）及其同事将弦理论应用于枚举几何中一个数十年之久的难题。枚举几何是数学的一个古老分支，致力于计算几何问题的解的数量。最简单的方法是提出这样的问题：“有多少条线可以通过平面上的两点？”（一条）。或者阿波罗尼乌斯的著名问题：“可以画出多少个与三个给定圆相切的圆？”（八个）。

坎德拉斯和他的同事们能够利用弦理论的工具来解决枚举几何中一个特别棘手的问题：计算卡拉比-丘流形中某些类型曲线的数量。卡拉比-丘流形是一种奇特的六维形状，是弦理论的核心。他们的研究成果将“辛”几何和“复”几何联系起来，而数学家们几十年来一直孤立地研究这两种几何，认为它们毫不相关。这种将两个原本被认为毫不相关的领域联系起来的进展，被认为是数学中一个“深刻”的成果：人们可以突然用一个领域的工具来解决另一个领域的问题，从而推动和加速数学的发展。

卡拉比-丘流形是一种奇特的六维形状，是弦理论的核心。

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仅仅几年后，在1995年，威滕提出，五种不同版本的弦理论（每种都需要10个维度）都是一个11维概念的不同方面，他称之为“M理论”。尽管M理论尚未得到证实，但绘制不同理论之间的对应关系已带来惊人的数学发现。“感觉弦理论每个月都在以前所未有的方式为数学家提供新的结构，”伦敦数学科学研究所的数学物理学家何阳辉说道。

通过研究现实而产生的数学正是我们的大脑所喜欢的数学。

弦理论蕴含着如此丰富的意想不到的关系，或者说是两个数学世界之间的“对偶性”，至今仍令数学家们兴奋不已。物理学家何阳辉和他的同事、同样来自伦敦数学研究所的弦理论家费德里科·卡塔（Federico Carta）在研究卡拉比-丘流形最简单的类型（称为K3 曲面）时，偶然发现了该曲面的“同伦群”（用于在拓扑中对形状进行分类）与一个对称群（称为“Matthieu 24”）之间的关系。他们的发现揭示了纯数学中两个截然不同的领域——拓扑学（研究形状）和现代代数中一个叫做群论的领域（研究物体所具有的对称类型）——之间意想不到的联系。

何阳辉教授表示，物理学为何会催生如此有趣的数学，这是一个“深刻的问题”。他指出，数学家可以研究的模式和结构数不胜数。“但那些源于现实的模式和结构，在某种程度上，我们拥有直觉。”

希钦对此表示赞同。“数学研究并非在真空中进行，”他说。“你不会为了理论本身而坐下来发明一个新理论。你需要相信存在某种值得研究的东西。新的想法必须围绕某种现实概念，或者可能是某人的概念，进行凝聚。”

这就引出了一个问题：物理学是否仅仅通过提供更强烈的探索动机和数学家精力的集中点来滋养数学？在对世界运作方式的直觉和一个合理的终点的引导下，数学家有时能够比以往更快地解决问题。

这也可以解释一个奇怪的事实：“糟糕的”物理学有时可以带来好的数学。

例如，涡旋理论是英国数学物理学家威廉·汤姆森（开尔文勋爵）早期尝试解释原子种类相对较少的原因。他将原子描绘成旋转的环，可以打成复杂的结，每个结对应一种不同的化学元素。电子发现后，该理论被抛弃，但其数学基础促成了纽结理论的发展。自此以后，纽结理论不仅成为纯数学家探索的沃土，还在流体动力学和理解DNA等缠结分子方面找到了意想不到的应用。

蛋白质纽结

对阿蒂亚来说，物理学和数学之间神秘的关系都归结于人脑。“人类是长期进化的产物，强大的大脑是一种优势。这种大脑在物质世界中进化，因此进化的成功是通过物质的成功来衡量的，”他在 2018 年的一次采访中解释道。“因此，人类大脑进化是为了解决物理问题，而这需要大脑发展出正确的数学。”要做到这一点，大脑还必须适应识别和欣赏自然界中的数学模式。阿蒂亚甚至在 2014 年与人合著了一项脑成像研究，该研究得出结论，数学之美的体验与美妙的音乐、艺术或诗歌刺激大脑的相同区域。这也许可以解释为什么物理学可以成为数学家的指导方针：从研究现实中产生的数学正是我们的大脑倾向于喜欢的数学。

2010年，阿蒂亚与希钦以及当时任职于普林斯顿大学的荷兰理论物理学家罗伯特·戴克格拉夫共同发表了一篇论文，进一步强调了物理学在数学中的成功运用。然而，自那以后，人们尝试理解这一现象的研究却寥寥无几。

博洛尼亚大学的丹尼尔·莫利尼尼是一位最近重新审视这一问题的哲学家。他于 2023 年发表在《英国科学哲学杂志》上的论文回应了诺贝尔奖得主物理学家尤金·维格纳 1960 年发表的一篇经常被引用的论文，题为“数学在自然科学中的不合理有效性”。莫利尼尼的俏皮回应探讨了“物理学在数学中的不合理有效性”。他令人惊讶的回答是，一些物理定律可能像数学定理一样不容置疑。“有一些关于世界的原则我们必须视为基本原则，”他说。

哲学家们普遍认为数学真理是“必然的”，因为它们在所有可能世界中都必须为真。关于自然的真理，即经验事实，则有所不同——它们是偶然的。光以一定的速度传播，但可以说，在一个不同的宇宙中，光的速度可能是不同的。也就是说，无论如何，数学真理过去是，将来也永远是真的。

是否存在某些物理定律也同样具有“必然性”？莫利尼尼在他的论文中指出，守恒定律可能就是这样一条定律。在物理学中，系统的某些属性，例如能量或动量，是无法改变的。例如，一个骑自行车的人在山坡上空滑行时，会将其重力势能转化为运动能量，但她和自行车的总能量保持不变。

宇宙本身不仅仅是用数学描述的，而且是由数学构成的。

莫利尼尼认为，如果这种守恒是“必然的”，那或许可以解释阿基米德如何能够通过力学的考量成功推断出几何证明的真理，而这一壮举在其他方面则令人费解。在这种情况下，物理学和数学是同一枚硬币的两面：两者都正确，因为它们基于相同的基本原理。

另一种观点是，宇宙是用数学语言书写的，这一观点由伽利略在17世纪初提出，并经常受到数学家的拥护。这种观点起源古老，至少可以追溯到毕达哥拉斯及其追随者，但最近出现的一个更极端的版本是马克斯·泰格马克的数学宇宙假说，该假说认为物理现实的本质是一个数学结构，即所有存在的结构只要在数学上自洽，就在物理上真实存在。

在泰格马克的叙述中，我们的宇宙只是无数平行宇宙中的一个，数学中所有无限的可能性——每一个定理，每一个证明——都在这个多元宇宙的某个地方得以实现。因此，物理学激发数学新发现也就不足为奇了——物理学所描述的现实，从本质上来说，都是数学的。“经验科学与数学之间存在着密切的联系，”悉尼大学研究数学与物理学关系的哲学家马克·科利文说道。“我们可以得出一个结论：世界本身就是数学的。”

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然而，在这两种情况下，已知物理学的数学只是所有数学的一小部分（几乎所有数学都可能远没有那么有趣），所以这种观点并不能真正解释为什么从物理学中产生的数学应该异常丰富。

莫利尼尼目前正在挑战一种流行的关于数学适用性的哲学解释——“映射”。他认为，这种说法无法解释为什么好的数学能够从物理学中衍生出来。映射表明，数学应用于物理学的方法是将质量或分离等物理概念转化为数学实体，例如牛顿万有引力定律方程，然后用它来计算某个东西，再将其映射回物理属性——例如两个物体之间的吸引力。但莫利尼尼认为，当人们试图逆转这种映射过程来解释数学如何从物理学中衍生时，这种映射过程就会失效。

他说，哲学家们对这个问题的兴趣日益浓厚，到目前为止，他们一直关注的是相反的问题，即为什么数学可以应用于经验科学。

“现代物理学为数学家提供了大量新的工具和意想不到的线索，”伦敦研究所的何阳辉教授说道。“未来，物理学和数学需要更加紧密地合作，才能解决纯数学中一些最大的难题。”

何教授表示，朗兰兹纲领就是这样一个领域。该纲领由罗伯特·朗兰兹于20世纪60年代提出，常被称为“数学大统一理论”。据称，该纲领的一个分支——几何朗兰兹——最近已被一个数学家团队解决，他们提交了一份长达五篇论文、800页的证明。该证明的核心部分基于最初源自共形场论的洞见。共形场论是物理学的一个分支，也是弦理论及其他领域的基石。他认为，数学家需要借鉴更多物理学知识来探索该证明的含义，并在该纲领的其他分支上取得进展。