理解复杂系统的第一步：理解非线性动力学 | Koopman分析系列课程

摘要：现代科学中的许多系统，如流体动力学中的湍流、金融市场的波动、气候系统的变化，都是典型的非线性系统。这些系统通常展现出复杂的动态行为，例如周期性波动、突变或混沌现象。

导语

现代科学中的许多系统，如流体动力学中的湍流、金融市场的波动、气候系统的变化，都是典型的非线性系统。这些系统通常展现出复杂的动态行为，例如周期性波动、突变或混沌现象。

作为「」第一课，在12月22日（周日） 14:00-16:00兰岳恒教授会带领大家首先熟悉非线性动力学理论和其中常见的研究工具，介绍非线性动力学的几何描述方法和参数变化下各类动力学的产生——分岔现象，建立对非线性动力学的直观感知。在后续课程中，会看到Koopman算符如何应用到这些高维系统的分析中。

主题：复杂系统与非线性动力学

课程简介

在日常生活和自然界中，复杂系统无处不在。从气候变化、生态系统的演替到社会网络中的人类互动，这些系统往往表现出高维、非线性的动态行为，具有层级结构，并且能根据环境的变化自我学习和适应。要深入理解和预测这些系统的行为，首先需要掌握非线性动力学的基本理论，并熟练使用相关的研究工具。

本节课程兰岳恒教授将带领大家走进非线性动力学的核心世界。从几何描述入手，探讨系统的行为如何随着参数变化而发生剧烈转变，也就是分岔现象，来研究复杂动力学中的模式。会带领大家深入思考，是否存在学习到低维流形的可靠方法？如何识别复杂系统中的分岔？如何有效描述复杂系统动力学？是否能在不同尺度上建立有效的描述方法？这也是我们在整个系列课程中去发现和探索的。

课程目标

帮助学生深入理解非线性动力学及其在复杂系统中的应用，通过学习本课程，学生将掌握如何识别复杂系统中的分岔、混沌现象、周期性波动以及多尺度动态模式，进而为多学科领域中的复杂问题提供有效的数学建模和分析工具。

课程大纲

复杂系统与非线性动力学中的基本概念

低维非线性动力学的分岔

重点讲解低维系统中的分岔现象，介绍鞍结分岔、跨临界分岔等类型。帮助学习如何通过参数变化分析系统的稳定性和行为转变，并探讨分岔在各领域中的应用。

混沌中的普遍性

讨论混沌系统的特性和普遍性，分析非线性系统中的随机性与规律性。帮助理解混沌现象在不同领域中的共同特征。

复杂动力学的模式

介绍提取复杂系统中低维模式的方法。帮助学习如何识别和分析高维系统中的周期性、拟周期性与混沌行为，并应用这些方法进行系统建模与优化。

课程总结

涉及专业术语

非线性动力学（Nonlinear Dynamics）；复杂系统（Complex Systems）；分岔（Bifurcation）；鞍结分岔（Saddle-node Bifurcation）；跨临界分岔（Transcritical Bifurcation）；超临界分岔（Supercritical Pitchfork Bifurcation）；Hopf分岔（Hipf Bifurcations）；混沌（Chaos）；低维动力学（Low-dimensional Dynamics）；固定点（Fixed Point）；稳定性（Stability）；分岔点（Bifurcation Point）；周期轨道（Periodic Orbit）；规律性与随机性（Order and Chaos）；奇怪吸引子（Strange Attractor）；动力学子流形（Dynamical Submanifold）；维度降维（Dimension Reduction）；稳定周期（Stable Periodic Cycle）；不稳定周期（Unstable Periodic Cycle）；周期-加倍分岔（Period-doubling Bifurcation）；洛伦兹方程（Lorenz Equation）；科尔莫哥洛夫理论（Kolmogorov Theory）；拓扑学（Topology）；符号动力学（Symbolic Dynamics）；频谱分析（Spectral Analysis）；傅里叶变换（Fourier Transform）；拉普拉斯变换（Laplace Transform）；小波变换（Wavelet Transform）；动力学系统理论（Dynamical Systems Theory）；变分方法（Variational Methods）

课程信息

课程主题：复杂系统与非线性动力学

课程时间：2024年12月22日（周日） 14:00-16:00

课程形式：腾讯会议（会议信息见群内通知）；集智学园网站录播（3个工作日内上线）

课程主讲人

兰岳恒，北京邮电大学理学院教授，博士学位在佐治亚理工学院（Georgia Institute of Technology）获得。先后在国内外多个著名大学学习和工作过，有丰富的学科交叉研究经历。主要从事非线性科学、统计物理、生物物理、复杂信息和智能系统等方面的研究工作，注重基本理论方法的发展和与实验紧密结合的应用。现为北京邮电大学“数学与信息网络”教育部重点实验室副主任，多次被邀请在国内外学术会议上报告自己的工作，同时担任期刊“理论物理通信”（Communications in Theoretical Physics）和“现代数学物理”（Modern Mathematical Physics）的编委，也是多个国际著名杂志的审稿人。发表学术论文100余篇，包括国际顶级杂志PRL， PNAS， Nature子刊论文多篇。

系列课程信息

课程适用对象

理工科研究生或高年级本科生：

对非线性动力学、数学建模、数学物理或统计力学感兴趣。

具备一定的微分方程、线性代数及计算基础。

对理论与实践结合感兴趣的跨学科研究者：

希望通过Koopman算子探索非线性系统在自己的研究方向中的应用。

从事各类复杂系统研究、寻找有力分析工具。

具有探究精神的学生：

乐于参与讨论、假设推导和问题反思的学生。

课程证书

要想解开非线性动力学的奥秘并不简单，但前进的每一步，都值得我们欣喜。本系列课程，我们会进行严格的课堂管理，鼓励各位同学积极思考、讨论，希望能够通过本课程让同学们能对Koopman算符理论有深入的研究，并能进行相应的理论研究和应用实践。对于满足以下条件的同学，会发放实体证书，将选出3名优秀的同学每人赠送1件集智定制T恤。让我们共同开启一次苏格拉底式的课程吧。

课程证书发放标准：

报名时间：2024年12月21日前报名的成员；

参与课程直播：不低于80%，根据腾讯会议的在线时间进行统计；

加分项：课程直播和课程微信群内积极提问；

加分项：完成课程设置的任务；

报名须知

课程形式：腾讯会议直播，集智学园网站录播。本系列课程不安排免费直播。

课程周期：2024年12月21日-2025年1月25日，每周六下午2点-4点进行。

特别说明：第一次课程临时调整为12月22日下午2-4点进行。

课程定价：原价599，早鸟价449，早鸟优惠截止到2024年12月21日中午12点。

课程链接：https://campus.swarma.org/course/5419?from=wechat

付费流程：