摘要：在实际光学成像系统中，横向分辨率通常由R=k×λ/NA定义，其中λ代表照明波长，NA表示成像系统的数值孔径，k是与照明条件、信号畸变和样品特性等多个变量相关的成像因子。在阿贝分辨率极限中，为0.5，规定了理想成像系统最终可分辨距离的理论极限。由于光波不可避免的
在实际光学成像系统中，横向分辨率通常由R=k×λ/NA定义，其中λ代表照明波长，NA表示成像系统的数值孔径，k是与照明条件、信号畸变和样品特性等多个变量相关的成像因子。在阿贝分辨率极限中，为0.5，规定了理想成像系统最终可分辨距离的理论极限。由于光波不可避免的衍射效应，成像因子k增加至0.61，即瑞利衍射极限，这构成了传统成像系统无法突破的实际边界。为追求更高分辨率，除聚焦于更短波长或更高数值孔径外，近年来人们日益重视通过优化成像过程来降低k，以逼近理想传递函数，在显微术、光刻、天文学、X射线晶体学、量子光学和超分辨光学等诸多领域突破阿贝分辨率极限。
相干衍射成像凭借其无透镜结构及理论上完美的传递函数，被视为实现阿贝分辨率极限最具前景的成像范式。通过与创新架构和高效算法相结合，CDI持续刷新着成像系统的物理带宽极限。在这些努力下，诸多关键问题——如像差、渐晕效应、景深与视场限制、相干性衰减，以及系统误差和伪影——已得到切实解决或缓解，使CDI能够轻松逼近或超越瑞利衍射极限，更有突破性进展成功将成像因子推进至接近阿贝极限。然而，目前报道的接近阿贝极限分辨率的CDI均是在低数值孔径（0.8）的无透镜CDI案例被报道。受限于低数值孔径和较差的成像过程，迄今为止通过CDI技术对实际物体实现的分辨率被限制在0.69λ。图1a全面概述了接近衍射极限分辨率的最先进CDI技术。
本文论证了在不同数值孔径的相干衍射成像系统中实现完美传递函数的理论可能性，成功将成像分辨率推至阿贝衍射极限。尤其在无透镜叠层衍射成像中，作者首次报道了成像系统接近0.9的超高数值孔径。在此超高数值孔径配置下，作者将k因子优化至0.501，从而成功突破了阿贝分辨率极限。得益于超高数值孔径与阿贝极限k因子，实现了0.57λ的相干衍射成像分辨率，据作者所知这代表了当前最高水平。核心创新在于作者提出了名为"严格夫琅禾费衍射"的计算框架，该框架采用严格的泰勒展开式替代了相干衍射成像中常用的近似麦克劳林型二项式展开。这是首次通过严格的模型计算，在Ewald球空间内一劳永逸地解决了高数值孔径、分辨率极限的相干衍射成像问题。因此，该计算框架弥补了几何校正（GC）方法中从笛卡尔衍射图案映射的球面波与前后向衍射传播模型求解的抛物面波之间的近似差距，同时克服了可扩展角谱传播模型在传播距离上的限制。更重要的是，RFD计算框架本质上植根于严格的标量衍射理论，在低数值孔径场景下依然适用。此外，它可广泛应用于涉及前后向衍射传播、光学空间成像、逆问题相位恢复、波场通信与传感，以及光学计算与加密等诸多领域。当然，其波场不仅限于电磁场，在声学、地震学和波动力学等涉及波传播的相关领域中也具有广阔的应用前景。该工作在期刊Light: Science & Applications上以“Pushing the resolution limit of coherent diffractive imaging”为题发表。
基于RFD的相干衍射成像计算框架如图1b-d所示。在这种无透镜结构中，测量信号通常是衍射图（或其序列）。通过结合倒易空间测量的衍射图样与实空间中的各种编码，并采用严格的前向-后向衍射传播模型（即提出的RFD方法），常利用相位恢复算法以衍射极限分辨率迭代重建复场，最终获得待测样本的图像或照明波前信息。
传统夫琅禾费衍射求解器在相干衍射成像中仅能在远场区域实现精确数值精度。在近场区域的高数值孔径场景下，笛卡尔平面探测器与真实球面辐射波之间存在固有衍射畸变（即图2a所示的ES效应），这种畸变通常不可忽略。GC方法通过坐标映射将倒易空间测量衍射图案从笛卡尔平面转换至球面空间，但用于相干衍射成像的前向-后向衍射传播模型（近场菲涅耳衍射）仅能求解抛物线型衍射分布。这种测量衍射图案的球面空间与衍射传播模型的抛物线空间之间的不匹配，虽可缓解却无法完全消除ES效应。为彻底消除ES效应，作者创新性地采用基于模型的衍射传播计算方法替代近似几何校正来解决该问题。在前向-后向衍射传播模型中，从图2b所示的自由空间光场传播的瑞利-索末菲衍射积分出发，在距离项r中采用严格的泰勒展开替代近似的麦克劳林型展开，以消除衍射传播中的傍轴近似和二项式近似。
这揭示了真实椭球空间与笛卡尔平面探测器之间在曲率畸变和强度归一化衍射场上的严格传播模型差异。因此，在所提出的计算框架中，消除椭球效应仅需在反问题求解前执行一次基于模型的计算——将笛卡尔空间中各类编码的衍射图样（或其序列）投影至椭球空间，该操作不会对CDI的相位恢复造成额外计算负担。
一旦在真实物理球面空间中精确计算出衍射信号，相位恢复逆问题的最终目标便转化为在ES空间中寻求RFD衍射图与重构探针-物体间的最小欧几里得范数。
图3a和b分别展示了同轴全息相干衍射成像中的光学示意图和实验原始测量衍射场。经过RFD严格的模型计算后，原始全息图及对应结果如图3c、d所示。实际上在真实物理场景中，不仅需要考虑横向偏移问题，样本-探测器衍射距离更为关键——其不确定性会导致重建像素尺寸（即成像分辨率）的比例缩放，并进一步引入空间相关伪影。因此若衍射距离未经精确校准，直接进行全息重建将极具风险。为获得更高重建质量，在全息重建前采用自适应全变分自动聚焦策略替代经典范数方法。与之相比，自适应范数全变分方法具有更快的收敛速度与更高的收敛精度，并显著消除了重建伪影。完成衍射距离误差校准后，在英特尔i7-12700F处理器与英伟达RTX 3060 Ti显卡平台上进行了1000次循环迭代。无论采用CFD还是RFD进行全息重建，实验中均采用自适应步长策略以增强收敛鲁棒性，且迭代参数设置保持一致以排除其他因素串扰。图3d重建结果显示，消除ES效应后可清晰分辨第9组第2线对（~0.780 μm），而图3c中CFD直接重建仅能分辨第8组第3线对（~1.550 μm），实现约2倍的分辨率提升。同时在图3d中，RFD在重建对比度与均匀性方面也呈现显著改善。图3e展示了在线全息CDI成像（当前配置下等效数值孔径0.406 NA）与光学显微镜（奥林巴斯BX53MTRF-S，20×/0.5NA）的对比结果。与光学显微镜测量的真实图像相比，对比结果完美验证了所提出的RFD方法在消除ES效应方面具有严格的数值准确性，仅在对角线细节处存在因成像系统固有分辨率差异导致的错位现象。
为消除定性观察带来的不确定性，采用线迹分析和空间频率分析对同轴全息CDI成像质量进行定量评估。在图3f、g不同感兴趣区域的线迹对比中，无论从分辨率还是对比度来看，经RFD处理的全息重建图像均展现出显著提升。可以清晰观察到，RFD全息成像分辨率已达到第9组/第2单元，而未消除边缘散射效应的CFD结果仍局限在第8组/第3单元。即使在两种重建方法均能分辨的线宽尺度（第8组/第1单元）上，RFD的全息重建仍呈现出更锐利的阶梯过渡和更优异的均匀性。根据图3h的傅里叶环相关分析（FRC），消除边缘散射效应后的全息重建结果在成像分辨率上实现约两倍提升，最终达到0.782微米的成像分辨率。根据实测分辨率与数值孔径，同轴全息术的k因子已逼近约0.502的理论极限值，成功突破了阿贝衍射极限。
图4a和b分别展示了超高数值孔径叠层衍射成像中明场位置的光学示意图及实验原始衍射测量结果。除中心明场衍射图样外，系统还捕获了环绕明场的8个暗场衍射图样，通过拼接形成数值孔径高达0.88的复合衍射图样，这代表了当前无透镜CDI技术的最高水平。与同轴全息CDI相比，叠层衍射成像除衍射距离误差外，对扫描位置误差同样敏感。因此在进行叠层重建前，必须快速精确地校准扫描位置误差。除系统误差校准外，在有限探测器动态范围内获取更高信噪比的高阶信号，也是优化成像过程k因子的关键挑战。因此，采用基于最大似然估计的高动态范围图像融合技术来解决探测器动态范围不足的问题。与全息重建实验结果类似，RFD的mPIE重建结果能够分辨图4d中第10组/第3单元（分辨率约0.388微米）的线宽特征，而未经过ES效应校正的CFD结果仅能分辨图4c中第9组/第4单元（分辨率约0.691微米）。与场发射扫描电子显微镜实测图像对比表明，叠层衍射成像结果在图4e可分辨线宽特征方面与FESEM测量结果高度吻合。与此同时，在FESEM成像结果中，第11组明显呈现出具有不同对比度的明暗线宽现象。这是由于SiO₂基底的导电性较差，导致USAF-1951分辨率板中不同线宽区域产生电子密度差异。此外，图4e中还因成像分辨率差异出现了对角线错位现象。
对于高数值孔径相干衍射成像的椭球效应，所提出的RFD计算框架提供了更优的解决方案。先前研究结果表明，即便在修正椭球效应及其他非理想误差后，几何校正方法仍远未达到阿贝衍射极限的k因子——这与作者在补充材料中展示的实验结果一致。究其原因在于：菲涅耳衍射计算的衍射分布与插值衍射图案之间存在空间失配，且几何校正强度归一化存在不同程度的精度损失。相比之下，如RFD这类严格传播模型能明确映射椭球效应，并为相位恢复逆问题提供统一求解空间。通过迭代前基于严格模型计算的单次逆球面投影，RFD方案可彻底消除处理算法传播模型中的椭球效应，包括曲率畸变和强度归一化误差。RFD传播模型通过仅需一次快速傅里叶变换求解，实现了标量衍射理论中瑞利-索末菲积分的精确数学表达。该模型具备角谱法（通常需2-3次FFT）的精确数值传播精度，同时规避了传递函数采样混叠问题，因而能在整个传播距离内直接兼容且不受带宽限制。其计算速度与卷积法（同样只需一次FFT）相当，但克服了近场菲涅耳区数值精度骤降的缺陷。与此同时，与卷积法类似，该模型打破了角谱传播中传递函数保持的空间不变性特性，显著放宽了观测平面倒易空间的本征像素间距采样限制，为实现相干衍射成像亚像素级分辨率提供了重要支撑。
此外，无论是同轴全息CDI还是叠层衍射CDI，所有实验结果均表明，通过RFD消除ES效应可使分辨率提升近一倍。需注意的是，并非所有CDI技术通过RFD都能实现约2倍的分辨率提升，这仅是巧合。实际上，分辨率提升幅度与若干复杂因素相关，包括样品特性、CDI的数值孔径及其他误差。从图3d和图4d的校正衍射图样可见，合成孔径叠层衍射技术在更高阶信号中具有比同轴全息CDI更宽的曲率映射范围，这是因为合成孔径叠层衍射的数值孔径高于同轴全息CDI。类似的解释可见于图3d和4d中同轴全息CDI与叠层衍射的局部放大成像结果：相较于叠层衍射结果，同轴全息CDI的放大结果明显更接近未进行ES效应校正的状态，这是因为叠层衍射图样的高频信号畸变程度更为严重。
总之，作者通过应用严格的夫琅禾费衍射进行边缘散射效应校正，从理论上证明了在各种数值孔径相干衍射成像中实现完美传递函数的可能性。这种新型基于模型的计算框架完美平衡了精度、效率与可扩展性之间的多重权衡，消除了实现阿贝衍射极限成像分辨率的"最后一公里"障碍。与其他低数值孔径相干衍射成像技术类似，作者在同轴全息相干衍射成像中也实现了0.502的极限成像因子，成功突破了阿贝分辨率极限。随后在叠层衍射成像原型机中，首次通过合成孔径策略实现了近0.9的超高数值孔径。在此超高数值孔径配置下，完美消除了边缘散射效应及其他误差，将k因子优化至0.501，同样突破了阿贝衍射极限。凭借超高数值孔径和最低k因子，实现了0.57λ的成像分辨率。据作者所知，这创造了无透镜相干衍射成像技术在实际物体成像中波长-分辨率比的最新纪录。
总体而言，RFD计算框架隶属于标量衍射理论范畴。因此，该框架可广泛应用于正向与逆向衍射传播、光学空间成像、反问题相位恢复、波场通信与传感、光学计算与加密等诸多领域。需要说明的是，该理论中的波场并不局限于电磁场范畴。在声学、地震学、波动力学等涉及波传播的相关领域，同样具有广阔的应用前景。
同样，所提出的计算框架仅聚焦于前后向衍射的严格建模，以消除CDI中的边缘散射效应，这使其与现有特定问题解决方案完美兼容。实际上，作者已将所提出的框架与系统参数校准策略相结合。未来，该框架将进一步与现有方法融合，实现时空部分相干源和高噪声困难数据集的高保真重建与鲁棒反演。
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