摘要：核心概念：交集（\(M \cap N\)，取两集合公共元素）、补集（\(\complement_{R}B\)，全集中不属于集合B的元素）。

一、集合相关（选择题 1、16 题，共 10 分）

核心概念：交集（\(M \cap N\)，取两集合公共元素）、补集（\(\complement_{R}B\)，全集中不属于集合B的元素）。

关键运算：

解一元二次不等式确定集合范围（如\((x-1)(x-3)>0\)，解集为\(x3\)）；

利用集合包含关系求参数（如\(C \subseteq A\)，分\(C=\varnothing\)和\(C≠\varnothing\)讨论）。

二、函数基础与性质（选择题 2、3、6、7、9、14 题，填空题 11、15 题，解答题 17、18 题，共 46 分）

1. 函数定义域（填空题 11）

根式型函数：被开方数非负（如\(f(x)=\sqrt{2x+1}\)，需\(2x+1 \geq 0\)，定义域为\([-\frac{1}{2},+\infty)\)）。

2. 函数单调性（选择题 2、9、14，解答题 18（2））

常见函数单调性：

一次函数\(f(x)=kx+b\)：\(k>0\)递增，\(k

二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)：开口向上（\(a>0\)）时，对称轴左侧（\(x

反比例函数\(f(x)=\frac{k}{x}\)：\(k

分段函数：需保证每段单调，且分段点处函数值满足 “递减（或递增）衔接”（如\(x=-1\)处，左侧二次函数值\(\geq\)右侧一次函数值）。

单调性证明（定义法）：任取\(x_1

3. 函数奇偶性（解答题 18（1）（3））

奇函数性质：定义域关于原点对称，且\(f(-x)=-f(x)\)（常用\(f(0)=0\)求参数，如\(f(x)=\frac{x+a}{x^2+1}\)，\(f(0)=a=0\)）；

偶函数性质：定义域关于原点对称，且\(f(-x)=f(x)\)（已知\(x \in [0,1)\)时的解析式，可求\(x \in (-1,0)\)时的解析式）。

4. 函数零点（选择题 7）

零点存在性定理：若函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，且\(f(a) \cdot f(b) 0\)，\(f(2)=-\frac{1}{2}

5. 函数对称性（选择题 9）

若函数\(f(x)\)图象关于直线\(x=m\)对称，则\(f(2m-x)=f(x)\)（如关于\(x=0\)对称，即偶函数；本题中关于\(x=0\)对称，故\(f(2)=f(-2)\)，\(f(3)=f(-1)\)）。

6. 分段函数与参数（选择题 10、填空题 14）

分段函数根的个数问题：结合图象分析临界值（如\(f(x)=\begin{cases}x^2 & (x \leq m) \\ |2x| & (x > m)\end{cases}\)，需满足 “\(|2m|>m^2\)（\(m>0\)）” 或 “\(m^2>|2m|\)（\(m

分段函数单调递减：二次函数对称轴\(\geq\)区间右端点，一次函数斜率\(

三、不等式相关（选择题 3、8、13 题，填空题 12，解答题 19 题，共 30 分）

1. 不等式性质（选择题 3）

正确性质：\(a>b \Rightarrow a-c>b-c\)（两边同减一个数，不等号方向不变）；

错误反例：

\(a>b\)不推出\(\frac{1}{a}

\(a>b\)不推出\(ac^2>bc^2\)（如\(c=0\)）；

\(a>b\)不推出\(a^2>b^2\)（如\(a=0\)，\(b=-1\)）。

2. 基本不等式（填空题 13）

公式：\(x>0\)，\(y>0\)时，\(x+y \geq 2\sqrt{xy}\)（当且仅当\(x=y\)时取等号）；

应用：构造定值（如\(x>1\)时，\(x+\frac{4}{x-1}=(x-1)+\frac{4}{x-1}+1 \geq 2\sqrt{4}+1=5\)）。

3. 一元二次方程与韦达定理（填空题 12）

对于\(ax^2+bx+c=0\)（\(a≠0\)），根\(x_1,x_2\)满足：

\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)；

\(|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)（如\(x^2-x-1=0\)，\(|x_1-x_2|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\)）。

4. 取整函数与实际应用（选择题 8）

取整函数\([x]\)表示不大于x的最大整数，结合实际问题列关系式（如 “余数\(>5\)增选 1 名”，对应\(y=[\frac{x+4}{10}]\)）。

5. 恒成立问题（解答题 19（3））

二次函数\(x^2+(a-2)x+3>0\)恒成立：判别式\(\Delta=(a-2)^2-12

四、充要条件（选择题 4，共 3 分）

定义判断：

充分条件：\(p \Rightarrow q\)（如\(x>0 \Rightarrow x>-1\)）；

必要条件：\(q \Rightarrow p\)（如\(x>-1\)不推出\(x>0\)）；

故 “\(x>0\)” 是 “\(x+1>0\)” 的充分不必要条件。

五、新定义问题（选择题 5、20 题，共 13 分）

1. 函数图象综合（选择题 5）

由二次函数图象判\(a,b,c\)符号：

开口向上\(\Rightarrow a>0\)；

对称轴\(x=-\frac{b}{2a}0\)（或反之）；

与y轴交点\((0,c)

再结合一次函数（\(a>0,b>0\)过一、三、二象限）、反比例函数（\(c

2. “Ω 区间” 新定义（解答题 20）

性质 1：\(\forall x \in I\)，\(f(x) \in I\)（如\(f(x)=\frac{1}{2}x\)在\([1,2]\)上，\(f(x) \in [\frac{1}{2},1] \subseteq [1,2]\)，满足性质 1）；

性质 2：\(\forall x \in I\)，\(f(x) \notin I\)；

证明关键：利用函数单调性（\(\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}

来源：牛顿搬砖人一点号