摘要：题目1：如图1，已知圆O与△ABC的边AB、AC分别相切于点P、Q，与△ABC的外接圆相切于点T，设切点弦PQ的中点为I。求证：IT平分∠BTC。

题目1：如图1，已知圆O与△ABC的边AB、AC分别相切于点P、Q，与△ABC的外接圆相切于点T，设切点弦PQ的中点为I。求证：IT平分∠BTC。

解题思路：连接OP、OT，则OP=OT，OP⊥AB（图2）；

过点T作OT的垂线MN，则MN为圆O及△ABC的外接圆的切线；

连接AO，则AO垂直平分切点弦PQ，点AIO共线；

连接AT，根据弦切角定理有∠CTN=∠CAT=θ，∠BTM=∠BAT；

在Rt△PAO中PI⊥AO，根据射影定理有：

OT²=OP²=OI·OA，根据母子型相似三角形性质的逆定理得：

△OIT∽△OTA，故∠OTI=∠OAT=α。

因OT⊥MN，则有：

∠OTN=∠OTI+∠ITC+∠CTN=∠OAT+∠ITC+∠CAT

=∠ITC+∠OAC=90°，故

∠ITC=90°-∠OAC=90°-1/2∠BAC；

同理，∠OTM=∠MTB+∠BTO

=∠BAT+∠ITB-∠OTI

=∠ITB+1/2∠BAC=90°，即

∠ITB=90°-1/2∠BAC，

故∠ITC=∠ITB，IT平分∠BTC成立。

题目2：如图1，PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，连接AB、OP相交于点C，过C作弦DE，连接PE交圆O于点F，连接PD。证明：OP平分∠EPD。

解题思路：连接OA、OB、OD、OE，则OA=OB=OD=OE；

∠ODE=∠OED；OA⊥PA，OB⊥PB（图2）。

根据切点弦性质，OP⊥AB。

在Rt△PAO中，AC⊥OP，根据射影定理有：

OA2=OC·OP，即OD2=OC·OP，OD/OC=OP/OD。

在△ODP和△OCD中，∠DOP=∠COD，OD/OC=OP/OD，

故△ODP∽△OCD，∠ODE=∠OPD=α。

同理，∠OED=∠OPE=α。

故∠OPD=∠OPE，OP平分∠EPD成立。

来源：诺诺课堂