名师彻底讲透初等函数(29)函数y=k/x(k≠0)

摘要：在上期的表中，仔细考察一下自变量的各个值与对应的函数值之间的关系，可以看出一个重要的事实，这就是：当变量x的值放缩(扩大或缩小)若干倍的时候，变量y的值随着缩放(缩小或扩大)相同的倍数。

1.反比例关系

在上期的表中，仔细考察一下自变量的各个值与对应的函数值之间的关系，可以看出一个重要的事实，这就是：当变量x的值放缩(扩大或缩小)若干倍的时候，变量y的值随着缩放(缩小或扩大)相同的倍数。

例如x从¼扩大到½(扩大2倍)时，y从4缩小到2(缩小2倍)。

我们还可以看到，两个量x和y的每一对对应值的积都是一个常数(例如¼×4=½×2=...=1)，即xy=1.也就是说，变量y和变量x的倒数的比是一个常数，就是

在算术里，我们已经知道变量间的这种关系，叫做反比例关系。现在象正比例关系一样，我们需要把算术里的这种反比例关系的定义加以推广，我们说：

变量y和x之间的函数关系，如果能用公式

(k是不等于零的一个常量)

来表示，那么这两个变量间的关系叫做反比例关系，k叫做比例系数。

例在匀速直线运动中，当距离s不变的时候，速度v和t之间的关系是什么关系？如果t=5(秒)时，v=8(米/秒)，写出这个关系式，并求t=8(秒)时的速度。

【解】匀速直线运动的公式是

s=vt， (1)

由此得

因为这里s是个常量，所以v和t之间成反比例关系。

把t=5，v=8代入(1)式，得

s=40.

所以，所求的函数关系是

在(3)中，令t=8，得v=5.所以所求的速度是每秒5米。

2.函数y=k/x的性质和图象

象作函数y=1/x或者函数y=-1/x的图象一样，我们可以作出函数y=k/x当k取某一个确定的值时的图象。画出来的图象都是双曲线，只是根据k的值的不同，曲线有不同的位置。

例如图5.7中画出的是k=±2、±4时函数y=k/x的图象。

习题5.4

1.下面这些关系中哪些是反比例关系？为什么？

(1)完成一定工作的时间t和人数n(假定每人的工作能力相同)；

(2)被除数一定的时候，除数d和商q；

(3)两数的和一定的时候，加数a与加数b；

(4)重量一定的时候，物体的体积V和比重d；

(5)车行驶距离一定的时候，车轮的直径d和车轮旋转的周数n.

2.已知y和x成反比例关系，比例系数是6.写出y和x间的函数关系，并用描点法作出图象。

3.在同一坐标系里，作函数y=5/x和y=-5/x的图象。这两个图象有哪些相同的地方？哪些不同的地方？

4.已知y和x间的关系可以用下列等式来表示，求y和x间的函数关系y=f(x)，并作出图象：

(1) xy-10=0；(2) 2xy+7=0.

下期预告：名师彻底讲透初等函数(30)函数y=xⁿ(n=½和⅓)

1.函数y=xⁿ(n=½)

因为当x≥0的时候，幂xⁿ(n=½)就是√x都有意义，所以函数y=xⁿ(n=½)的定义域是全体非负实数，就是

0≤x

......

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